Jump to content

Лемма об оценке

(Перенаправлено из леммы ML )

В математике лемма об оценке , также известная как ML неравенство , дает верхнюю оценку контурного интеграла . Если f комплексная -непрерывная функция на контуре Γ и ее абсолютное значение | ж ( z ) | ограничено константой M для всех z на Γ , то

где l (Γ) длина дуги Γ . В частности, мы можем взять максимум

в качестве верхней границы. Интуитивно лемму понять очень просто. Если контур рассматривать как множество меньших сегментов контура, соединенных вместе, то будет максимум | ж ( z ) | для каждого сегмента. Из всех максимальных | ж ( z ) | Что касается сегментов, то в целом будет самый крупный. Следовательно, если общий наибольший | ж ( z ) | суммируется по всему пути, то интеграл от f ( z ) по пути должен быть меньше или равен ему.

Формально можно показать, что неравенство выполняется, используя определение контурного интеграла, неравенство абсолютного значения для интегралов и формулу для длины кривой следующим образом:

Лемма об оценке чаще всего используется как часть методов контурного интегрирования с целью показать, что интеграл по части контура стремится к нулю при | г | уходит в бесконечность. Пример такого случая показан ниже.

Контур Г.

Проблема. Найдите верхнюю границу для

где Γ — верхний полукруг | г | = a с радиусом a > 1 , пройденный один раз против часовой стрелки.

Решение. Сначала заметим, что длина пути интегрирования равна половине окружности радиуса a , следовательно,

Далее мы ищем верхнюю оценку M для подынтегральной функции, когда | г | = а . По неравенству треугольника мы видим, что

поэтому

потому что | г | = а > 1 на Γ . Следовательно

Поэтому применим лемму об оценивании с M = 1 / ( а 2 − 1) 2 . Результирующая граница

См. также

[ редактировать ]
  • Сафф, Е.Б.; Снайдер, AD (1993), Основы комплексного анализа в математике, науке и технике (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN  978-0133274615 .
  • Хауи, Дж. М. (2003), Комплексный анализ , Springer .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f4c6570b93951158eb08788e044415c2__1620508320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f4/c2/f4c6570b93951158eb08788e044415c2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Estimation lemma - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)