Лемма об оценке
В математике лемма об оценке , также известная как ML неравенство , дает верхнюю оценку контурного интеграла . Если f — комплексная -непрерывная функция на контуре Γ и ее абсолютное значение | ж ( z ) | ограничено константой M для всех z на Γ , то
где l (Γ) — длина дуги Γ . В частности, мы можем взять максимум
в качестве верхней границы. Интуитивно лемму понять очень просто. Если контур рассматривать как множество меньших сегментов контура, соединенных вместе, то будет максимум | ж ( z ) | для каждого сегмента. Из всех максимальных | ж ( z ) | Что касается сегментов, то в целом будет самый крупный. Следовательно, если общий наибольший | ж ( z ) | суммируется по всему пути, то интеграл от f ( z ) по пути должен быть меньше или равен ему.
Формально можно показать, что неравенство выполняется, используя определение контурного интеграла, неравенство абсолютного значения для интегралов и формулу для длины кривой следующим образом:
Лемма об оценке чаще всего используется как часть методов контурного интегрирования с целью показать, что интеграл по части контура стремится к нулю при | г | уходит в бесконечность. Пример такого случая показан ниже.
Пример
[ редактировать ]Проблема. Найдите верхнюю границу для
где Γ — верхний полукруг | г | = a с радиусом a > 1 , пройденный один раз против часовой стрелки.
Решение. Сначала заметим, что длина пути интегрирования равна половине окружности радиуса a , следовательно,
Далее мы ищем верхнюю оценку M для подынтегральной функции, когда | г | = а . По неравенству треугольника мы видим, что
поэтому
потому что | г | = а > 1 на Γ . Следовательно
Поэтому применим лемму об оценивании с M = 1 / ( а 2 − 1) 2 . Результирующая граница
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Сафф, Е.Б.; Снайдер, AD (1993), Основы комплексного анализа в математике, науке и технике (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615 .
- Хауи, Дж. М. (2003), Комплексный анализ , Springer .