Индекс несходства

Индекс несходства — это демографический показатель равномерности распределения двух групп по составляющим географическим регионам, составляющим большую территорию. Группа распределяется равномерно, когда каждая географическая единица имеет такой же процент членов группы, как и общая численность населения. Показатель индекса также можно интерпретировать как процент одной из двух групп, включенных в расчет, которым придется переехать в разные географические районы, чтобы получить распределение, соответствующее распределению на большей территории. Индекс несходства можно использовать как меру сегрегации . Нулевой балл (0%) отражает полностью интегрированную среду; балл 1 (100%) отражает полную сегрегацию. С точки зрения сегрегации черно-белых, показатель 0,60 означает, что 60 процентам чернокожих придется поменяться местами с белыми в других единицах, чтобы добиться равномерного географического распределения. ^[1]^[2]

Основная формула

Основная формула индекса несходства:

D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {a_{i}}{A}}-{\frac {b_{i}}{B}}\right|

где (например, сравнивая черное и белое население):

a _i = численность группы A в i ^й территория, например, переписной участок

A = общая численность населения в группе A в большом географическом субъекте, для которого рассчитывается индекс несходства.

b _i = численность группы B в i ^й область

B = общая численность населения в группе B в большом географическом субъекте, для которого рассчитывается индекс несходства.

Индекс несходства применим к любой категориальной переменной (как демографической, так и нет) и благодаря своим простым свойствам полезен для ввода в программы многомерного масштабирования и кластеризации. Он широко использовался при изучении социальной мобильности для сравнения распределения профессиональных категорий происхождения (или назначения).

Перспектива линейной алгебры

Формулу индекса несходства можно сделать гораздо более компактной и значимой, если рассматривать ее с точки зрения линейной алгебры . Предположим, мы изучаем распределение богатых и бедных людей в городе (например, в Лондоне ). Предположим, в нашем городе есть $N$ блоки:

$\{{\text{block 1}},{\text{block 2}},\ldots ,{\text{block N}}\}$

Давайте создадим вектор $\mathbf {r}$ который показывает количество богатых людей в каждом квартале нашего города:

$\mathbf {r} =[r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}]$

Аналогично создадим вектор $\mathbf {p}$ который показывает количество бедных людей в каждом квартале нашего города:

$\mathbf {p} =[p_{1},p_{2},\cdots ,p_{N}]$

Теперь $L^{1}$ -норма вектора — это просто сумма (величин) каждого элемента этого вектора. ^[3] То есть для вектора $\mathbf {v} =[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{N}]$ , у нас есть $L^{1}$ -норма:

$|\mathbf {v} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|v_{i}|$

Если мы обозначим $R$ как общее количество богатых людей в нашем городе, чем компактный способ подсчета $R$ было бы использовать $L^{1}$ -норма:

$R=|\mathbf {r} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|r_{i}|$

Аналогично, если мы обозначим $P$ как общее количество бедняков в нашем городе, то:

$P=|\mathbf {p} |_{1}=\sum _{i=1}^{N}|p_{i}|$

Когда мы делим вектор $\mathbf {v}$ по его норме мы получаем то, что называется нормализованным вектором или Единичным вектором. ${\hat {\mathbf {v} }}$ :

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |_{1}}}$

Давайте нормализуем богатый вектор $\mathbf {r}$ и бедный вектор $\mathbf {p}$ :

${\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |_{1}}}={\frac {\mathbf {r} }{R}}$

${\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{|\mathbf {p} |_{1}}}={\frac {\mathbf {p} }{P}}$

Наконец, вернемся к формуле индекса несходства ( $D$ ); оно просто равно половине $L^{1}$ -норма разности векторов ${\hat {\mathbf {r} }}$ и ${\hat {\mathbf {p} }}$ :

Индекс несходства
(в обозначениях линейной алгебры)

$D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}$

Численный пример

Рассмотрим город, состоящий из четырех кварталов по 2 человека в каждом. Один блок состоит из 2-х богатых людей. Один блок состоит из 2 бедняков. Два блока состоят из 1 богатого и 1 бедного человека. Каков индекс непохожести этого города?

Во-первых, давайте найдем богатый вектор $\mathbf {r}$ и плохой вектор $\mathbf {p}$ :

$\mathbf {r} =[2,0,1,1]$

$\mathbf {p} =[0,2,1,1]$

Далее посчитаем общее количество богатых и бедных людей в нашем городе:

$R=2+0+1+1=4$

$P=0+2+1+1=4$

Далее давайте нормализуем векторы богатых и бедных:

${\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\mathbf {r} }{R}}={\frac {1}{4}}[2,0,1,1]=[0.5,0,0.25,0.25]$

${\hat {\mathbf {p} }}={\frac {\mathbf {p} }{P}}={\frac {1}{4}}[0,2,1,1]=[0,0.5,0.25,0.25]$

Теперь мы можем вычислить разницу ${\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}$ :

${\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}=[0.5,0,0.25,0.25]-[0,0.5,0.25,0.25]=[0.5,-0.5,0,0]$

Наконец, найдем индекс несходства ( $D$ ):

$D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}(|0.5|+|-0.5|)=0.5$

Эквивалентность формул

Мы можем доказать, что формула линейной алгебры для $D$ идентична основной формуле для $D$ . Начнем с формулы линейной алгебры:

$D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}$

Заменим нормализованные векторы $\mathbf {r}$ и $\mathbf {p}$ с:

$D={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\mathbf {r} }{R}}-{\frac {\mathbf {p} }{P}}\right|_{1}$

Наконец, из определения $L^{1}$ -норма, мы знаем, что можем заменить ее суммированием:

$D={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|$

Таким образом, мы доказываем, что формула линейной алгебры для показателя несходства эквивалентна основной формуле для него:

$D={\frac {1}{2}}|{\hat {\mathbf {r} }}-{\hat {\mathbf {p} }}|_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}|{\frac {r_{i}}{R}}-{\frac {p_{i}}{P}}|$

Нулевая сегрегация

Когда индекс несходства равен нулю, это означает, что в изучаемом нами сообществе отсутствует сегрегация. Например, если мы изучаем сегрегацию богатых и бедных людей в городе, то если $D=0$ , это означает, что:

В городе нет кварталов, которые были бы «богатыми кварталами», и нет в городе кварталов, которые были бы «бедными кварталами».
По всему городу равномерно распределены богатые и бедные люди.

Если мы установим $D=0$ в линейно-алгебраической формуле получаем необходимое условие наличия нулевой сегрегации:

$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\hat {p}}$