Неравенство Кантелли

В теории вероятностей неравенство Кантелли (также называемое неравенством Чебышева-Кантелли и односторонним неравенством Чебышева ) представляет собой улучшенную версию неравенства Чебышева для односторонних хвостовых границ. Неравенство утверждает, что для $\lambda >0,$

$\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}},$

где

$X$ является вещественной случайной величиной ,

$\Pr$ — вероятностная мера ,

$\mathbb {E} [X]$ значение ожидаемое ​ $X$,

$\sigma ^{2}$ это дисперсия ​ $X$.

Применяя неравенство Кантелли к $-X$ дает привязку к нижнему хвосту,

$\Pr(X-\mathbb {E} [X]\leq -\lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}}.$

Хотя неравенство часто приписывают Франческо Паоло Кантелли, опубликовавшему его в 1928 году, оно берет свое начало в произведении Чебышева 1874 года. Когда ограничивающая случайная величина события отклоняется от своего среднего значения только в одном направлении (положительном или отрицательном), неравенство Кантелли дает улучшение по сравнению с неравенством Чебышева. Неравенство Чебышева имеет «версии с высшими моментами» и «векторные версии» , как и неравенство Кантелли.

Сравнение с неравенством Чебышева

Для односторонних хвостовых границ неравенство Кантелли лучше, поскольку неравенство Чебышева может получить только

$\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq \Pr(|X-\mathbb {E} [X]|\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}}}.$

С другой стороны, для двусторонних хвостовых границ неравенство Кантелли дает

$\Pr(|X-\mathbb {E} [X]|\geq \lambda )=\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )+\Pr(X-\mathbb {E} [X]\leq -\lambda )\leq {\frac {2\sigma ^{2}}{\sigma ^{2}+\lambda ^{2}}},$

что всегда хуже неравенства Чебышева (когда $\lambda \geq \sigma$; в противном случае оба неравенства ограничивают вероятность значением, большим единицы, и поэтому тривиальны).

Доказательство

Позволять $X$ быть действительной случайной величиной с конечной дисперсией $\sigma ^{2}$ и ожидание $\mu$и определить $Y=X-\mathbb {E} [X]$ (так что $\mathbb {E} [Y]=0$ и $\operatorname {Var} (Y)=\sigma ^{2}$).

Тогда для любого $u\geq 0$, у нас есть

$\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )=\Pr(Y\geq \lambda )=\Pr(Y+u\geq \lambda +u)\leq \Pr((Y+u)^{2}\geq (\lambda +u)^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(Y+u)^{2}]}{(\lambda +u)^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}+u^{2}}{(\lambda +u)^{2}}}.$

последнее неравенство является следствием неравенства Маркова . Поскольку вышеизложенное справедливо для любого выбора $u\in \mathbb {R}$, мы можем применить его со значением, которое минимизирует функцию $u\geq 0\mapsto {\frac {\sigma ^{2}+u^{2}}{(\lambda +u)^{2}}}$. Дифференцируя, можно увидеть, что это $u_{\ast }={\frac {\sigma ^{2}}{\lambda }}$, что приводит к

$\Pr(X-\mathbb {E} [X]\geq \lambda )\leq {\frac {\sigma ^{2}+u_{\ast }^{2}}{(\lambda +u_{\ast })^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}+\sigma ^{2}}}$ если $\lambda >0$

Обобщения

Можно показать различные более сильные неравенства.Он, Чжан и Чжан показали (Следствие 2.3), когда $\mathbb {E} [X]=0,\,\mathbb {E} [X^{2}]=1$ и $\lambda \geq 0$:

$\Pr(X\geq \lambda )\leq 1-(2{\sqrt {3}}-3){\frac {(1+\lambda ^{2})^{2}}{\mathbb {E} [X^{4}]+6\lambda ^{2}+\lambda ^{4}}}.$

В случае $\lambda =0$ это соответствует границе в «Методе четвертого момента» Бергера,

$\Pr(X\geq 0)\geq {\frac {2{\sqrt {3}}-3}{\mathbb {E} [X^{4}]}}.$

Это превосходит неравенство Кантелли тем, что мы можем получить ненулевую нижнюю границу, даже если $\mathbb {E} [X]=0$.

См. также

• Неравенство Чебышева
• Неравенство Пэли – Зигмунда