Серая атмосфера

Серая атмосфера (или серая атмосфера) представляет собой полезный набор приближений, сделанных для приложений переноса излучения при исследовании звездных атмосфер (атмосфер звезд), основанных на упрощенном представлении о том, что коэффициент поглощения $\alpha _{\nu }$ Содержание вещества в атмосфере звезды постоянно, то есть неизменно, для всех частот падающего на звезду излучения .

Приложение

Приближение серой атмосферы — основной метод, который астрономы используют для определения температуры и основных радиационных свойств астрономических объектов, включая планеты с атмосферами, Солнце, другие звезды и межзвездные облака газа и пыли. Хотя упрощенная модель приближения серой атмосферы демонстрирует хорошую корреляцию с наблюдениями, она отклоняется от результатов наблюдений, поскольку реальные атмосферы не являются серыми, например, поглощение излучения зависит от частоты.

Приближения

Первичное приближение основано на предположении, что коэффициент поглощения , обычно представленный $\alpha _{\nu }$ , не зависит от частоты $\nu$ для обрабатываемого частотного диапазона, например $\alpha _{\nu }\longrightarrow \alpha$ .

Обычно одновременно делается ряд других предположений:

Атмосфера имеет плоскопараллельную геометрию атмосферы.
Атмосфера находится в теплорадиационном равновесии .

Этот набор предположений приводит непосредственно к тому, что средняя интенсивность и функция источника напрямую эквивалентны черного тела планковской функции температуры на этой оптической глубине .

Приближение Эддингтона (см. следующий раздел) также можно использовать опционально для определения исходной функции. Это значительно упрощает модель, не сильно искажая результаты.

Вывод функции источника с использованием приближения Эддингтона.

Вывод различных величин из модели серой атмосферы предполагает решение интегро-дифференциального уравнения, точное решение которого является сложным. Таким образом, этот вывод основан на упрощении, известном как приближение Эддингтона. Начав с применения плоскопараллельной модели, мы можем представить себе модель атмосферы, состоящую из плоскопараллельных слоев, наложенных друг на друга, где такие свойства, как температура, постоянны в пределах плоскости. Это означает, что такие параметры являются функцией физической глубины. $z$ , где направление положительного $z$ указывает на верхние слои атмосферы. Отсюда легко видеть, что путь луча $ds$ под углом $\theta$ к вертикали, определяется выражением

$\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} z}{cos\theta }}$

Теперь мы определяем оптическую глубину как

$\mathrm {d} \tau =-\alpha \mathrm {d} s$

где $\alpha$ – коэффициент поглощения, связанный с различными компонентами атмосферы. Теперь обратимся к уравнению переноса излучения

${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} s}}=j-\alpha I$

где $I$ – полная удельная интенсивность, $j$ коэффициент эмиссии. После замены на $\mathrm {d} s$ и разделив на $-\alpha$ у нас есть

$\mu {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} \tau }}=I-S$

где $S$ – это так называемая полная функция источника, определяемая как соотношение коэффициентов излучения и поглощения. Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на $e^{-\tau /\mu }$ , переписав левую часть как ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}(Ie^{-\tau /\mu })$ а затем интегрируем все уравнение по $\tau$ . Это дает решение

$I(\tau ,\mu )={\frac {e^{\frac {\tau }{\mu }}}{\mu }}\int _{\tau }^{\infty }Se^{-{\frac {\tau }{\mu }}}\mathrm {d} \tau$

где мы использовали ограничения $\tau \in [\tau ,\infty )$ поскольку мы интегрируемся наружу из какой-то глубины атмосферы; поэтому $\mu \in [0,1]$ . Несмотря на то, что мы пренебрегли частотной зависимостью таких параметров, как $S$ , мы знаем, что это функция оптической глубины, поэтому для ее интегрирования нам нужен метод получения функции источника. Теперь мы определим некоторые важные параметры, такие как плотность энергии. $U$ , общий поток $F$ и радиационное давление $P$ следующее

$U={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu$

$F=2\pi \int _{-1}^{+1}I\mu \mathrm {d} \mu$

$P={\frac {2\pi }{c}}\int _{-1}^{+1}I\mu ^{2}\mathrm {d} \mu$

Определим также среднюю удельную интенсивность (усредненную по всем углам ^[1]) как

$J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}I\mathrm {d} \mu$

Мы сразу видим, что, разделив уравнение переноса излучения на 2 и проинтегрировав по $\mu$ , у нас есть

${\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=J-S$

Кроме того, умножив то же уравнение на ${\frac {\mu }{2}}$ и интеграция WRT $\mu$ , у нас есть

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {F}{c}}$

Подставив среднюю удельную интенсивность J в определение плотности энергии, получим также следующее соотношение

$J={\frac {c}{4\pi }}U$

Теперь важно отметить, что общий поток через атмосферу должен оставаться постоянным, поэтому

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \tau }}=0\iff J=S$

Это состояние известно как радиационное равновесие. Воспользовавшись постоянством полного потока, теперь интегрируем ${\frac {dP}{d\tau }}$ чтобы получить

$P={\frac {F}{c}}(\tau +\kappa )$

где $\kappa$ является константой интегрирования. Из термодинамики мы знаем, что для изотропного газа справедливо следующее соотношение

$P={\frac {1}{3}}U={\frac {4\pi }{3c}}J$

где мы подставили полученное ранее соотношение между плотностью энергии и средней удельной интенсивностью. Хотя это может быть верно для более низких глубин звездной атмосферы, вблизи поверхности это почти наверняка не так. Однако приближение Эддингтона предполагает, что это справедливо на всех уровнях атмосферы. Подстановка этого значения в предыдущее уравнение для давления дает

$J={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +\kappa )$

и при условии радиационного равновесия

$S={\frac {3F}{4\pi }}(\tau +\kappa )$

Это означает, что мы решили исходную функцию, за исключением константы интегрирования. Подстановка этого результата в решение уравнения переноса излучения и интегрирование дает

$I(\tau =0,\mu )={\frac {3F}{4\pi }}{\frac {e^{\tau /\mu }}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(\tau +\kappa )e^{-\tau /\mu }\mathrm {d} \tau ={\frac {3F}{4\pi }}(\mu +\kappa )$

Здесь мы установили нижний предел $\tau$ до нуля, что соответствует значению оптической толщины у поверхности атмосферы. Это будет представлять собой излучение, исходящее, скажем, от поверхности Солнца. Наконец, подстановка этого значения в определение полного потока и интегрирование дает

$F=2\pi \int _{0}^{1}I\mu \mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\int _{0}^{1}(\mu ^{2}+\kappa \mu )\mathrm {d} \mu ={\frac {3F}{2}}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {\kappa }{2}}\right)$

Поэтому, $\kappa ={\frac {2}{3}}$ а исходная функция определяется выражением

$S(\tau )={\frac {3F}{4\pi }}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)$

Температурное решение

Интегрирование первого и второго моментов уравнения переноса излучения, применение приведенного выше соотношения и приближения двухпоточного предела приводит к информации о каждом из высших моментов в $\cos \theta$ . Первый момент средней интенсивности, $H$ постоянна независимо от оптической толщины :

$H(\tau )=H$

Второй момент средней интенсивности, $K$ тогда дается:

$K(\tau )=\tau H+{\frac {2}{3}}H={\frac {1}{3}}J(\tau )$

Заметим, что приближение Эддингтона является прямым следствием этих предположений.

Определение эффективной температуры $T_{eff}$ для потока Эддингтона $H$ и, применяя закон Стефана-Больцмана , реализовать эту связь между наблюдаемой извне эффективной температурой и внутренней температурой черного тела. $T$ среды.

$T^{4}=T_{\rm {eff}}^{4}{\frac {3}{4}}\left(\tau +{\frac {2}{3}}\right)$

Результаты решения серой атмосферы: наблюдаемая температура $T_{\rm {eff}}$ является хорошим показателем истинной температуры $T$ на оптической глубине $\tau \approx 2/3$ а верхняя температура атмосферы равна $\approx 0.841T_{\rm {eff}}$ .

Такое приближение делает функцию источника линейной по оптической толщине.

Ссылки

^ Овоцки, Стэн. «PHYS-633: Введение в звездную астрофизику» (PDF) . Phys6333-notes1.pdf . Научно-исследовательский институт Бартола . Проверено 22 июня 2023 г.

Рыбицкий, Джордж; Лайтман, Алан (2004). Радиационные процессы в астрофизике . Вайли-ВЧ . ISBN 978-0-471-82759-7 .

[1] Овоцки, Стэн. «PHYS-633: Введение в звездную астрофизику» (PDF) . Phys6333-notes1.pdf . Научно-исследовательский институт Бартола . Проверено 22 июня 2023 г.

[1]