Теорема ограничения Шевалле

В математической теории групп Ли описывает ограничительная теорема Шевалле функции на алгебре Ли, инвариантные относительно действия группы Ли, в терминах функций на подалгебре Картана.

Заявление

Теорема Шевалле требует следующих обозначений:

	предположение	пример
Г	комплексная связная полупростая группа Ли	SL n , специальная линейная группа
${\mathfrak {g}}$	алгебра Ли группы G	${\mathfrak {sl}}_{n}$, алгебра Ли матриц с нулевым следом
$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$	полиномиальные функции на ${\mathfrak {g}}$ инвариантные относительно присоединенного G -действия
${\mathfrak {h}}$	Картана подалгебра ​ ${\mathfrak {g}}$	подалгебра диагональных матриц со следом 0
В	группа Вейля группы G	симметрическая группа S n
$\mathbb {C} [{\mathfrak {h}}]^{W}$	полиномиальные функции на ${\mathfrak {h}}$ которые инвариантны относительно естественного действия W	многочлены f в пространстве $\{x_{1},\dots ,x_{n},\sum x_{i}=0\}$ которые инвариантны относительно всех перестановок x i

Теорема Шевалле утверждает, что ограничение полиномиальных функций индуцирует изоморфизм

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {h}}]^{W}$.

Доказательства

Хамфрис (1980) дает доказательство, используя свойства представлений высшего веса. Крисс и Гинзбург (2010) дают доказательство теоремы Шевалле, используя геометрические свойства отображения. ${\widetilde {\mathfrak {g}}}:=G\times _{B}{\mathfrak {b}}\to {\mathfrak {g}}$.

Ссылки

• Крисс, Нил; Гинзбург, Виктор (2010), Теория представлений и комплексная геометрия. , Биркхойзер, номер домена : 10.1007/978-0-8176-4938-8 , ISBN  978-0-8176-4937-1 , S2CID   14890248 , Збл   1185.22001
• Хамфрис, Джеймс Э. (1980), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для аспирантов по математике, том. 9, Шпрингер, Збл   0447.17002