Субфактор

теории алгебр фон подфактор Неймана фактора В $M$ подалгебра, которая является фактором и содержит $1$. Теория субфакторов привела к открытию Полином Джонса в теории узлов .

Индекс субфактора

Обычно $M$ принимается в качестве фактора типа ${\rm {II}}_{1}$, так что он имеет конечный след. В этом случае каждый модуль гильбертова пространства $H$ имеет размерность $\dim _{M}(H)$ которое является неотрицательным действительным числом или $+\infty$. Индекс ​ $[M:N]$ субфактора $N$ определяется как $\dim _{N}(L^{2}(M))$. Здесь $L^{2}(M)$ это представление из $N$ полученный в результате построения ГНС следа $M$.

Теорема об индексе Джонса

Это гласит, что если $N$ является субфактором $M$ (оба типа ${\rm {II}}_{1}$) то индекс $[M:N]$ представляет собой любую из форм $4\cos(\pi /n)^{2}$ для $n=3,4,5,...$или, по крайней мере, $4$. Все эти значения имеют место быть.

Первые несколько значений $4\cos(\pi /n)^{2}$ являются $1,2,(3+{\sqrt {5}})/2=2.618...,3,3.247...,...$

Базовая конструкция

Предположим, что $N$ является субфактором $M$и что обе являются конечными алгебрами фон Неймана. Конструкция GNS создает гильбертово пространство. $L^{2}(M)$ действовал по $M$ с циклическим вектором $\Omega$. Позволять $e_{N}$ быть проекцией на подпространство $N\Omega$. Затем $M$ и $e_{N}$ создать новую алгебру фон Неймана $\langle M,e_{N}\rangle$ действуя на $L^{2}(M)$, содержащий $M$ как субфактор. Отрывок из включения $N$ в $M$ к включению $M$ в $\langle M,e_{N}\rangle$ называется базовой конструкцией .

Если $N$ и $M$ оба являются факторами типа ${\rm {II}}_{1}$ и $N$ имеет конечный индекс в $M$ затем $\langle M,e_{N}\rangle$ также относится к типу ${\rm {II}}_{1}$. При этом включения имеют одинаковый индекс: $[M:N]=[\langle M,e_{N}\rangle :M],$ и $tr_{\langle M,e_{N}\rangle }(e_{N})=[M:N]^{-1}$.

Башня Джонса

Предположим, что $N\subset M$ является включением типа ${\rm {II}}_{1}$ факторы конечного индекса. Повторяя базовую конструкцию, мы получаем башню включений

$M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \cdots$

где $M_{-1}=N$ и $M_{0}=M$и каждый $M_{n+1}=\langle M_{n},e_{n+1}\rangle$ порождается предыдущей алгеброй и проекцией. Объединение всех этих алгебр имеет следовое состояние $tr$ ограничение которого для каждого $M_{n}$ — это следовое состояние, и поэтому закрытие союза — это другой тип ${\rm {II}}_{1}$ алгебра фон Неймана $M_{\infty }$.

Алгебра $M_{\infty }$ содержит последовательность проекций $e_{1},e_{2},e_{3},...,$ которые удовлетворяют соотношениям Темперли–Либа при параметре $\lambda =[M:N]^{-1}$. Более того, алгебра, порожденная $e_{n}$ это ${\rm {C}}^{\star }$-алгебра, в которой $e_{n}$ являются самосопряженными и такими, что $tr(xe_{n})=\lambda tr(x)$ когда $x$ находится в алгебре, порожденной $e_{1}$ до $e_{n-1}$. Всякий раз, когда эти дополнительные условия выполняются, алгебра называется алгеброй Темперли – Либа – Джонса с параметром $\lambda$. Можно показать, что оно уникально с точностью до $\star$-изоморфизм. Оно существует только тогда, когда $\lambda$ принимает эти особые ценности $4cos(\pi /n)^{2}$ для $n=3,4,5,...$, или значения, большие, чем $4$.

Стандартный инвариант

Предположим, что $N\subset M$ является включением типа ${\rm {II}}_{1}$ факторы конечного индекса. Пусть высшие относительные коммутанты будут ${\mathcal {P}}_{n,+}=N'\cap M_{n-1}$ и ${\mathcal {P}}_{n,-}=M'\cap M_{n}$.

Стандартный инвариант субфактора $N\subset M$ представляет собой следующую сетку:

$\mathbb {C} ={\mathcal {P}}_{0,+}\subset {\mathcal {P}}_{1,+}\subset {\mathcal {P}}_{2,+}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n,+}\subset \cdots$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cup$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbb {C} \ ={\mathcal {P}}_{0,-}\subset {\mathcal {P}}_{1,-}\subset \cdots \subset {\mathcal {P}}_{n-1,-}\subset \cdots$

что является полным инвариантом в аменабельном случае. Схематическая аксиоматизация стандартного инварианта дается понятием планарной алгебры .

Основные графики

Подфактор конечного индекса $N\subset M$ называется неприводимым, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• $L^{2}(M)$ является неприводимым как $(N,M)$ бимодуль;
• относительный коммутант $N'\cap M$ является $\mathbb {C}$.

В этом случае $L^{2}(M)$ определяет $(N,M)$ бимодуль $X$ а также его сопряженное $(M,N)$ бимодуль $X^{\star }$. Относительное тензорное произведение, описанное Джонсом (1983) и часто называемое слиянием Конна после предварительного определения общих алгебр фон Неймана Алена Конна , может использоваться для определения новых бимодулей над $(N,M)$, $(M,N)$, $(M,M)$ и $(N,N)$ путем разложения следующих тензорных произведений на неприводимые компоненты:

$X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star },\,\,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes \cdots \boxtimes X,\,\,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots \boxtimes X^{\star }.$

Неприводимый $(M,M)$ и $(M,N)$ возникающие таким образом бимодули образуют вершины основного графа — двудольного графа . Направленные ребра этих графов описывают способ разложения неприводимого бимодуля при тензорировании с помощью $X$ и $X^{\star }$ справа. Двойственный главный граф определяется аналогичным образом, используя $(N,N)$ и $(N,M)$ бимодули.

Поскольку любой бимодуль соответствует коммутирующим действиям двух множителей, каждый множитель содержится в коммутанте другого и, следовательно, определяет подмножитель. Когда бимодуль неприводим, его размерность определяется как квадратный корень из индекса этого подмножителя. Размерность аддитивно расширяется до прямых сумм неприводимых бимодулей. Оно мультипликативно по отношению к слиянию Конна.

Говорят, что подфактор имеет конечную глубину, если главный граф и его двойственный граф конечны, т. е. если в этих разложениях встречается только конечное число неприводимых бимодулей. В этом случае, если $M$ и $N$ гиперконечны, Сорин Попа показал, что включение $N\subset M$ изоморфна модели

$(\mathbb {C} \otimes \mathrm {End} \,X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime }\subset (\mathrm {End} \,X\boxtimes X^{\star }\boxtimes X\boxtimes X^{\star }\boxtimes \cdots )^{\prime \prime },$

где ${\rm {II}}_{1}$ коэффициенты получаются из конструкции ГНС по каноническому следу.

Узловые полиномы

Алгебра, порожденная элементами $e_{n}$ с указанными выше соотношениями, называется алгеброй Темперли–Либа . Это фактор групповой алгебры группы кос , поэтому представления алгебры Темперли–Либа дают представления группы кос, которые, в свою очередь, часто дают инварианты для узлов.

Ссылки

• Джонс, Воан Ф.Р. (1983), «Индекс субфакторов» , Mathematical Inventions , 72 : 1–25, doi : 10.1007/BF01389127
• Венцль, Х.Г. (1988), "Алгебры Гекке типа An _и подфакторы" , Invent. Математика. , 92 (2): 349–383, doi : 10.1007/BF01404457 , MR   0696688
• Джонс, Воган, Франция ; Сандер, Виакалатур Шанкар (1997). Знакомство с субфакторами . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 234. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511566219 . ISBN  0-521-58420-5 . МР   1473221 .
• Теория операторных алгебр III М. Такесаки ISBN   3-540-42913-1
• Вассерман, Антоний . «Операторы в гильбертовом пространстве» .