Омега-категориальная теория
В математической логике омега -категориальная теория — это теория , имеющая ровно одну счетную бесконечную модель с точностью до изоморфизма . Омега-категоричность – это частный случай κ = = ω κ-категоричности , а омега-категоричные теории также называются ω-категоричными . Это понятие наиболее важно для счетных теорий первого порядка .
Эквивалентные условия омега-категоричности
[ редактировать ]Многие условия теории эквивалентны свойству омега-категоричности. В 1959 году Эрвин Энгелер , Чеслав Рылль-Нардзевский и Ларс Свенониус доказали несколько независимых результатов. [1] Несмотря на это, в литературе до сих пор широко упоминается теорема Рилла-Нардзевского как название этих условий. Условия, включенные в теорему, различаются у разных авторов. [2] [3]
Для счетной полной первого порядка теории T с бесконечными моделями следующие условия эквивалентны:
- Теория Т является омега-категоричной.
- Каждая счетная модель T имеет олигоморфную группу автоморфизмов имеется конечное число орбит). (т. е. на M н для каждого n ).
- Некоторая счетная модель T имеет олигоморфную группу автоморфизмов. [4]
- Теория T имеет модель, которая для каждого натурального числа n реализует лишь конечное число n -типов, т. е. пространство Стоуна Sn ) конечно ( T .
- натурального числа n Для каждого T имеет лишь конечное число n -типов.
- Для каждого натурального числа n каждый n -тип изолирован .
- Для каждого натурального числа n с точностью до эквивалентности по модулю T существует только конечное число формул с n свободными переменными, другими словами, для каждого n n - я группы алгебра Линденбаума–Тарского T конечна .
- Каждая модель T является атомарной .
- Любая счетная модель T атомарна.
- Теория T имеет счетную атомную и насыщенную модель .
- Теория T имеет насыщенную простую модель .
Примеры
[ редактировать ]Теория любой счетно бесконечной структуры, однородной над конечным реляционным языком, является омега-категоричной. [5] В более общем смысле, теория предела Фрессе любого равномерно локально конечного класса Фрессе является омега-категоричной. [6] Следовательно, следующие теории являются омега-категоричными:
- Теория плотных линейных порядков без концов ( теорема Кантора об изоморфизме )
- Теория графа Радо
- Теория бесконечных линейных пространств над любым конечным полем
- Теория безатомных булевых алгебр
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Кэмерон, Питер Дж. (1990), Олигоморфные группы перестановок , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 152, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-38836-8 , Збл 0813.20002
- Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1989) [1973], Теория моделей , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
- Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-30442-9
- Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-58713-6
- Макферсон, Дугалд (2011), «Обзор однородных структур», Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , MR 2800979
- Пуаза, Бруно (2000), Курс теории моделей: введение в современную математическую логику , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5
- Ротмалер, Филипп (2000), Введение в теорию моделей , Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис, ISBN 978-90-5699-313-9
 | Эта математической логике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |