Петля Костаса

представляет Петля Костаса собой схему на основе фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), которая используется для несущей частоты восстановления с подавленной несущей из сигналов модуляции (например, сигналов двухполосной подавленной несущей) и сигналов фазовой модуляции (например, BPSK , QPSK ). Его изобрел Джон П. Костас из General Electric в 1950-х годах. ^[1]^[2] Его изобретение было описано ^[3] как оказавший «глубокое влияние на современные цифровые коммуникации».Основное применение петель Костаса — в беспроводных приемниках. Его преимуществом перед другими детекторами на базе ФАПЧ является то, что при небольших отклонениях напряжение ошибки контура Костаса $\sin(2(\theta _{i}-\theta _{f}))$ по сравнению с $\sin(\theta _{i}-\theta _{f})$ . Это приводит к удвоению чувствительности, а также делает петлю Костаса уникально подходящей для отслеживания несущих с доплеровским сдвигом , особенно в OFDM и приемниках GPS . ^[3]

Классическая реализация

В классической реализации цикла Костаса ^[4] локальный управляемый напряжением (ГУН), обеспечивает квадратурные выходные сигналы, по одному на каждый из двух фазовых детекторов , например генератор , детекторов продуктов . Одна и та же фаза входного сигнала также подается на оба фазовых детектора, а выход каждого фазового детектора проходит через фильтр нижних частот . Выходы этих фильтров нижних частот являются входами другого фазового детектора, выходной сигнал которого проходит через фильтр шумоподавления, прежде чем использоваться для управления генератором, управляемым напряжением. Общий отклик контура контролируется двумя отдельными фильтрами нижних частот, которые предшествуют третьему фазовому детектору, тогда как третий фильтр нижних частот выполняет тривиальную роль с точки зрения усиления и запаса по фазе.

На приведенном выше рисунке петля Костаса изображена в «заблокированном» состоянии, когда частота ГУН и частота входящей несущей стали одинаковыми из-за процесса петли Костаса. На рисунке не показано «разблокированное» состояние.

Математические модели

Во временной области

В самом простом случае $m^{2}(t)=1$ . Поэтому, $m^{2}(t)=1$ не влияет на вход фильтра шумоподавления. Сигналы несущей и генератора, управляемого напряжением (ГУН), представляют собой периодические колебания. $f_{ref,vco}(\theta _{ref,vco}(t))$ с высокими частотами ${\dot {\theta }}_{ref,vco}(t)$ .Блок $\bigotimes$ является аналоговым умножителем .

Линейный фильтр математически можно описать системой линейных дифференциальных уравнений:

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bu_{d}(t),&u_{LF}=c^{*}x.\end{array}}

где $A$ является постоянной матрицей, $x(t)$ вектор состояния фильтра, $b$ и $c$ являются постоянными векторами.

Модель ГУН обычно считается линейной:

{\begin{array}{ll}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\in [0,T],\end{array}}

где $\omega _{vco}^{free}$ - это свободная частота ГУН и $K_{vco}$ — коэффициент усиления ГУН. Аналогично можно рассматривать различные нелинейные модели ГУН.

Предположим, что частота задающего генератора постоянна. ${\dot {\theta }}_{ref}(t)\equiv \omega _{ref}.$ Уравнение ГУН и уравнение выхода фильтра

{\begin{array}{ll}{\dot {x}}=Ax+bf_{ref}(\theta _{ref}(t))f_{vco}(\theta _{vco}(t)),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{free}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}

Система неавтономна и довольно сложна для исследования.

В фазочастотной области

Эквивалентная модель петли Костаса в частотно-фазовой области

В простейшем случае, когда

{\begin{aligned}f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}=\cos {\big (}\omega _{ref}t{\big )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )}\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t)+2\omega _{ref}t){\Big )}\end{aligned}}

Стандартное инженерное предположение заключается в том, что фильтр удаляет верхнюю боковую полосу со входного сигнала, но оставляет нижнюю боковую полосу без изменений. Таким образом, предполагается, что вход ГУН $\varphi (\theta _{ref}(t)-\theta _{vco}(t))={\frac {1}{8}}\sin(2\omega _{ref}t-2\theta _{vco}(t)).$ Это делает петлю Костаса эквивалентной системе фазовой автоподстройки частоты с характеристикой фазового детектора. $\varphi (\theta )$ соответствующие конкретным формам сигналов $f_{ref}(\theta )$ и $f_{vco}(\theta )$ входных сигналов и сигналов ГУН. Можно доказать, что выходные параметры фильтров во временной и фазочастотной областях практически равны. ^[5]^[6]^[7]

Таким образом, возможно ^[8] изучить более простую автономную систему дифференциальных уравнений

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+b\varphi (\Delta \theta ),\\\Delta {\dot {\theta }}&=\omega _{vco}^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned}}

.

Метод усреднения Крылова –Боголюбова позволяет доказать близость решений неавтономного и автономного уравнений при некоторых предположениях.Таким образом, блок-схема петли Костаса во временной области может быть асимптотически заменена на блок-схему на уровне фазочастотных отношений.

Переход к анализу автономной динамической модели петли Костаса (вместо неавтономной) позволяет преодолеть трудности, связанные с моделированием петли Костаса во временной области, где приходится одновременно наблюдать очень быстрое движение. временная шкала входных сигналов и медленная временная шкала фазы сигнала. Эта идея делает возможным ^[9] рассчитать основные характеристики производительности — диапазоны удержания, втягивания и фиксации .

Получение частоты

Классическая петля Костаса будет работать над тем, чтобы разность фаз между несущей и ГУН стала небольшой, в идеале нулевой величиной. ^[10]^[11]^[12] Небольшая разность фаз означает, что синхронизация частоты достигнута.

QPSK Петля Костаса

Классическую петлю Костаса можно адаптировать к модуляции QPSK для более высоких скоростей передачи данных. ^[13]

Входной сигнал QPSK имеет следующий вид:

m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.

Входы фильтров нижних частот LPF1 и LPF2

{\begin{aligned}\varphi _{1}(t)&=\cos \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\\varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}

После синхронизации,выходы ФНЧ1 $Q(t)$ и ФНЧ2 $I(t)$ используются для получения демодулированных данных ( $m_{1}(t)$ и $m_{2}(t)$ ). Чтобы настроить частоту ГУН на опорную частоту, сигналы $Q(t)$ и $I(t)$ ограничены и перекрестно умножены:

u_{d}(t)=I(t)\operatorname {sgn}(Q(t))-Q(t)\operatorname {sgn}(I(t)).

Тогда сигнал $u_{d}(t)$ фильтруется контурным фильтром и формирует сигнал настройки для ГУН. $u_{\text{LF}}(t)$ , аналогично циклу Костаса BPSK. Таким образом, QPSK Костаса можно описать ^[14] системой обыкновенных дифференциальных уравнений :

{\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=A_{\text{LPF}}x_{1}+b_{\text{LPF}}\varphi _{1}(t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\\{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{\text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}

Здесь $A_{\text{LPF}},b_{\text{LPF}},c_{\text{LPF}}$ являются параметрами LPF1 и LPF2 и $A_{\text{LF}},b_{\text{LF}},c_{\text{LF}},h_{\text{LF}}$ являются параметрами контурного фильтра.

Ссылки

^ Костас, Джон П. (1956). «Синхронные коммуникации». Труды ИРЭ . 44 (12): 1713–1718. дои : 10.1109/jrproc.1956.275063 .
^ Костас, Джон П. (август 2002 г.) [1956]. «Синхронная связь». Труды IEEE . 90 (8): 1461–1466. дои : 10.1109/JPROC.2002.800876 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Тейлор, Д. (август 2002 г.). «Введение в« синхронные коммуникации », классическую статью Джона П. Костаса». Труды IEEE . 90 (8): 1459–1460. дои : 10.1109/jproc.2002.800719 .
^ Фейгин, Джефф (1 января 2002 г.). «Практическая конструкция петли Костаса» (PDF) . РФ Дизайн : 20–36. Архивировано из оригинала (PDF) 11 февраля 2012 года . Проверено 17 февраля 2010 г.
^ Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. (August 2012). "Differential equations of Costas loop" (PDF) . Doklady Mathematics . 86 (2): 723–728. doi : 10.1134/s1064562412050080 . S2CID 255276607 .
^ Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2012). «Аналитический метод расчета характеристики фазового детектора» (PDF) . Транзакции IEEE в схемах и системах. Часть II . 59 (10): 633–637. дои : 10.1109/tcsii.2012.2213362 . S2CID 2405056 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2015). «Нелинейная динамическая модель петли Костаса и подход к анализу ее устойчивости в целом» (PDF) . Обработка сигналов . 108 . Эльзевир: 124–135. дои : 10.1016/j.sigpro.2014.08.033 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Нейттаанмаки, П.; Селеджи, С.М.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2012). «Нелинейные математические модели петли Костаса для общей формы входного сигнала». 2012 г. 4-я Международная конференция IEEE по нелинейным наукам и сложности (NSC) . IEEE Пресс. стр. 75–80. дои : 10.1109/NSC.2012.6304729 . ISBN 978-1-4673-2703-9 . S2CID 5812970 .
^ Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Сельдерей, СМ; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2017). «Нелинейная модель оптической петли Костаса: оценка диапазона втягивания и скрытые колебания» . IFAC-PapersOnLine . 50 . ЭЛЬЗЕВЬЕР: 3325–3330. дои : 10.1016/j.ifacol.2017.08.514 . ISSN 2405-8963 .
^ Костас 1956 утверждает: «Гединир необходимо поддерживать в правильной фазе, чтобы вклады выходного аудиосигнала верхней и нижней боковых полос усиливали друг друга. Если фаза генератора отклоняется на 90 ° от оптимального значения, нулевой выходной аудиосигнал будет Результат, типичный для детекторов этого типа. Фактический метод управления фазой будет объяснен позже, но для целей данного обсуждения предполагается поддержание правильной фазы генератора.
^ Использование контурного фильтра с интегратором обеспечивает нулевую установившуюся фазовую ошибку. См. ПИД-регулятор § Интегральный термин .
^ Бест, Роланд Э. (1997). Петли фазовой автоподстройки частоты (третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 44–45. ISBN 0-07-006051-7 .
^ Патент США № 4 085 378 , Карл Р. Райан и Джеймс Х. Стилвелл, «Демодулятор QPSK», опубликован 26 ноября 1976 г., передан Motorola Solutions Inc.
^ Лучший, РЕ; Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2016). «Учебник по динамическому анализу петли Костаса». Ежегодные обзоры под контролем . 42 . ЭЛЬЗЕВЬЕР: 27–49. arXiv : 1511.04435 . дои : 10.1016/j.arcontrol.2016.08.003 . S2CID 10703739 .

В этой статье использованы общедоступные материалы из Федеральный стандарт 1037C . Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г.

[1] Костас, Джон П. (1956). «Синхронные коммуникации». Труды ИРЭ . 44 (12): 1713–1718. дои : 10.1109/jrproc.1956.275063 .

[2] Костас, Джон П. (август 2002 г.) [1956]. «Синхронная связь». Труды IEEE . 90 (8): 1461–1466. дои : 10.1109/JPROC.2002.800876 .

[Taylor-3] Перейти обратно: ^а ^б Тейлор, Д. (август 2002 г.). «Введение в« синхронные коммуникации », классическую статью Джона П. Костаса». Труды IEEE . 90 (8): 1459–1460. дои : 10.1109/jproc.2002.800719 .

[4] Фейгин, Джефф (1 января 2002 г.). «Практическая конструкция петли Костаса» (PDF) . РФ Дизайн : 20–36. Архивировано из оригинала (PDF) 11 февраля 2012 года . Проверено 17 февраля 2010 г.

[5] Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V.; Yuldashev, M. V.; Yuldashev, R. V. (August 2012). "Differential equations of Costas loop" (PDF) . Doklady Mathematics . 86 (2): 723–728. doi : 10.1134/s1064562412050080 . S2CID 255276607 .

[6] Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2012). «Аналитический метод расчета характеристики фазового детектора» (PDF) . Транзакции IEEE в схемах и системах. Часть II . 59 (10): 633–637. дои : 10.1109/tcsii.2012.2213362 . S2CID 2405056 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[7] Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2015). «Нелинейная динамическая модель петли Костаса и подход к анализу ее устойчивости в целом» (PDF) . Обработка сигналов . 108 . Эльзевир: 124–135. дои : 10.1016/j.sigpro.2014.08.033 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[8] Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Нейттаанмаки, П.; Селеджи, С.М.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2012). «Нелинейные математические модели петли Костаса для общей формы входного сигнала». 2012 г. 4-я Международная конференция IEEE по нелинейным наукам и сложности (NSC) . IEEE Пресс. стр. 75–80. дои : 10.1109/NSC.2012.6304729 . ISBN 978-1-4673-2703-9 . S2CID 5812970 .

[9] Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Сельдерей, СМ; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2017). «Нелинейная модель оптической петли Костаса: оценка диапазона втягивания и скрытые колебания» . IFAC-PapersOnLine . 50 . ЭЛЬЗЕВЬЕР: 3325–3330. дои : 10.1016/j.ifacol.2017.08.514 . ISSN 2405-8963 .

[10] Костас 1956 утверждает: «Гединир необходимо поддерживать в правильной фазе, чтобы вклады выходного аудиосигнала верхней и нижней боковых полос усиливали друг друга. Если фаза генератора отклоняется на 90 ° от оптимального значения, нулевой выходной аудиосигнал будет Результат, типичный для детекторов этого типа. Фактический метод управления фазой будет объяснен позже, но для целей данного обсуждения предполагается поддержание правильной фазы генератора.

[11] Использование контурного фильтра с интегратором обеспечивает нулевую установившуюся фазовую ошибку. См. ПИД-регулятор § Интегральный термин .

[12] Бест, Роланд Э. (1997). Петли фазовой автоподстройки частоты (третье изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 44–45. ISBN 0-07-006051-7 .

[13] Патент США № 4 085 378 , Карл Р. Райан и Джеймс Х. Стилвелл, «Демодулятор QPSK», опубликован 26 ноября 1976 г., передан Motorola Solutions Inc.

[14] Лучший, РЕ; Кузнецов Н.В.; Леонов Г.А.; Юлдашев, М.В.; Юлдашев, Р.В. (2016). «Учебник по динамическому анализу петли Костаса». Ежегодные обзоры под контролем . 42 . ЭЛЬЗЕВЬЕР: 27–49. arXiv : 1511.04435 . дои : 10.1016/j.arcontrol.2016.08.003 . S2CID 10703739 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]