Функции Нэша

В реальной алгебраической геометрии функция Нэша на открытом полуалгебраическом подмножестве U ⊂ R ^н — аналитическая функция f : U → R, удовлетворяющая нетривиальному полиномиальному уравнению P ( x , f ( x )) = 0 для всех x в U ( полуалгебраическое подмножество R ^н — подмножество, полученное из подмножеств вида { x в R ^н : P ( x )=0} или { x в R ^н : P ( x ) > 0}, где P — многочлен, беря конечные объединения, конечные пересечения и дополнения). Некоторые примеры функций Нэша:

• Полиномиальные и регулярные рациональные функции являются функциями Нэша.
• $x\mapsto {\sqrt {1+x^{2}}}$ is Nash on R .
• функция, которая сопоставляет вещественной симметричной матрице ее i -е собственное значение (в порядке возрастания), является функцией Нэша на открытом подмножестве симметричных матриц без кратного собственного значения.

Функции Нэша — это функции, необходимые для получения теоремы о неявной функции в реальной алгебраической геометрии.

Коллекторы Нэша

Наряду с функциями Нэша определяются многообразия Нэша , которые являются полуалгебраическими аналитическими подмногообразиями некоторого R ^н . Отображение Нэшамежду многообразиями Нэша тогда является аналитическим отображением с полуалгебраическим графиком. Функции и многообразия Нэша названы в честь Джона Форбса Нэша-младшего , который доказал (1952), что любое компактное гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша, т. е. диффеоморфно некоторому многообразию Нэша. В более общем смысле, гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша тогда и только тогда, когда оно диффеоморфно внутренности некоторого компактного гладкого многообразия, возможно, с краем. Результат Нэша был позже (1973) завершен Альберто Тоньоли , который доказал, что любое компактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторому аффинному вещественному алгебраическому многообразию; на самом деле любое многообразие Нэша диффеоморфно по Нэшу аффинному вещественному алгебраическому многообразию. Эти результаты иллюстрируют тот факт, что категория Нэша является чем-то промежуточным между гладкими и алгебраическими категориями.

Местная недвижимость

Локальные свойства функций Нэша хорошо известны. Кольцо ростков функций Нэша в точке многообразия Нэша размерности n изоморфно кольцу алгебраических степенных рядов от n переменных (т. е. тех рядов, которые удовлетворяют нетривиальному полиномиальному уравнению), которое является гензелизацией кольца ростков рациональных функций. В частности, это регулярное локальное кольцо размерности n .

Глобальные свойства

Глобальные свойства получить сложнее. Тот факт, что кольцо функций Нэша на многообразии Нэша (даже некомпактном) нетерово, независимо друг от друга доказали (1973) Жан-Жак Рислер и Гюстав Эфроймсон. Многообразия Нэша обладают свойствами, подобными, но более слабыми, чем теоремы Картана A и B о многообразиях Штейна . Позволять ${\mathcal {N}}$ обозначим пучок ростков функции Нэша намногообразие Нэша M и ${\mathcal {I}}$ быть связной связкой ${\mathcal {N}}$-идеалы. Предполагать ${\mathcal {I}}$ конечно, т. е. существует конечное открытое полуалгебраическое накрытие $\{U_{i}\}$ из M такой, что для каждого i , ${\mathcal {I}}|_{U_{i}}$ генерируется функциями Нэша на $U_{i}$. Затем ${\mathcal {I}}$ глобально порождается функциями Нэша на M , а естественное отображение

$H^{0}(M,{\mathcal {N}})\to H^{0}(M,{\mathcal {N}}/{\mathcal {I}})$

является сюръективным. Однако

$H^{1}(M,{\mathcal {N}})\neq 0,\ {\text{if}}\ \dim(M)>0,$

в отличие от случая многообразий Штейна.

Обобщения

Функции и многообразия Нэша могут быть определены над любым действительным замкнутым полем, а не над полем действительных чисел, и приведенные выше утверждения остаются в силе. Абстрактные функции Нэша также могут быть определены на вещественном спектре любого коммутативного кольца.

Источники

1. Ж. Бочнак, М. Косте и М.Ф. Рой: Настоящая алгебраическая геометрия. Спрингер, 1998.
2. М. Косте, Дж. М. Руис и М. Шиота: Глобальные проблемы функций Нэша. Revista Matematica Complutense 17 (2004), 83–115.
3. Г. Эфроймсон: Nullstellensatz для колец Нэша. Пасифик Дж. Математика. 54 (1974), 101-112.
4. Дж. Ф. Нэш: Вещественные алгебраические многообразия. Анналы математики 56 (1952), 405–421.
5. Джей-Джей. Рислер: О кольце глобальных функций Нэша. ЧР акад. наук. Париж сер. АВ 276 (1973), А1513--А1516.
6. М. Сиота: Многообразия Нэша. Спрингер, 1987.
7. А. Тоньоли: О гипотезе Нэша. Энн. Нормальная школа Суп. Пиза 27 (1973), 167-185.