p -адическая модульная форма

В математике p -адическая модульная форма — это p -адический аналог модульной формы с коэффициентами, которые являются p-адическими числами, а не комплексными числами. Серр (1973) ввел p -адические модульные формы как пределы обычных модулярных форм, а вскоре после этого Кац (1973) дал геометрическое и более общее определение. -адическим модулярным формам Каца К р относятся в качестве частных случаев классические р -адические модульные формы , которые представляют собой более или менее р -адические линейные комбинации обычных «классических» модулярных форм, и сверхсходящиеся р -адические модульные формы , которые, в свою очередь, включают обычные модульные формы как частные случаи.

Серра

Серр определил p -адическую модульную форму как формальный степенной ряд с p -адическими коэффициентами, который является p -адическим пределом классических модулярных форм с целыми коэффициентами. Веса этих классических модульных форм не обязательно должны быть одинаковыми; на самом деле, если это так, то p -адическая модулярная форма представляет собой не что иное, как линейную комбинацию классических модулярных форм. В общем случае вес p -адической модулярной формы - это p -адическое число, определяемое пределом весов классических модулярных форм (на самом деле небольшое уточнение дает вес в Z _p × Z /( p –1) З ).

p - адические модулярные формы, определенные Серром, являются частными случаями форм, определенных Кацем.

Определение Каца

Классическую модульную форму веса k можно грубо представить как функцию f от пары ( E ,ω) комплексной эллиптической кривой с голоморфной 1-формой ω до комплексных чисел, такую, что f ( E ,λω) = λ ^{- к} f ( E ,ω) и удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям, например, голоморфность в некотором смысле.

Определение Каца p -адической модулярной формы аналогично, за исключением того, что E теперь является эллиптической кривой над некоторой алгеброй R (с p нильпотентной) над кольцом целых чисел R ₀ конечного расширения p -адических чисел, такой что E не является суперсингулярным в том смысле, что ряд Эйзенштейна E _{p –1} обратим в точке ( E ,ω). p - адическая модульная форма f теперь принимает значения в R, а не в комплексных числах. p -адическая модулярная форма также должна удовлетворять некоторым другим условиям, аналогичным условию голоморфности классической модулярной формы.

Сверхконвергентные формы

Основная статья: Сверхконвергентная форма

Сверхсходящиеся p -адические модулярные формы подобны модулярным формам, определенным Кацем, за исключением того, что форму необходимо определять на более широком наборе эллиптических кривых. Грубо говоря, значение ряда Эйзенштейна E _{k –1} на форме уже не обязательно должно быть обратимым, а может быть меньшим элементом R . Неформально ряд для модульной формы сходится к этому более крупному набору эллиптических кривых, отсюда и название «сверхсходящийся».

Ссылки

• Коулман, Роберт Ф. (1996), «Классические и сверхсходящиеся модульные формы» , Inventiones Mathematicae , 124 (1): 215–241, doi : 10.1007/s002220050051 , ISSN   0020-9910 , MR   1369416 , S2CID   7995580
• Гувеа, Фернандо К. (1988), Арифметика p-адических модульных форм , Конспект лекций по математике, том. 1304, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0082111 , ISBN.  978-3-540-18946-6 , МР   1027593
• Хида, Харузо (2004), p-адические автоморфные формы на многообразиях Шимуры , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-20711-7 , МР   2055355
• Кац, Николас М. (1973), «p-адические свойства модульных схем и модульных форм», Модульные функции одной переменной, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, Antwerp, 1972) , Конспекты лекций по математике , том. 350, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 69–190, doi : 10.1007/978-3-540-37802-0_3 , ISBN.  978-3-540-06483-1 , МР   0447119
• Серр, Жан-Пьер (1973), «Модульные формы и p-адические дзета-функции», Модульные функции одной переменной, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972) , Конспекты лекций по математике, том. 350, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 191–268, номер домена : 10.1007/978-3-540-37802-0_4 , ISBN.  978-3-540-06483-1 , 0404145