Водяное колесо Малкус

Продолжительность: 1 минута 15 секунд. 1:15

Компьютерное моделирование двух водяных колес Малкуса с различными начальными условиями . Хотя первоначальный угол $\theta _{0}$ различается между колесами всего на 1 градус, траектории нанесенных центров масс в долгосрочном периоде сильно расходятся.

Графики траекторий центров масс двух вышеуказанных колес, левого и правого соответственно, через один и тот же продолжительный период времени. На каждом графике центр масс $M\in \mathbb {R} ^{2}$ вектор $(M_{x},M_{y})^{T}$, где $M_{x}$ и $M_{y}$ являются $x$ и $y$ компоненты соответственно. Действительно, система, по-видимому, демонстрирует большую зависимость от начальных условий, что является определяющим свойством хаотических систем; причем на обоих графиках видны два аттрактора системы.

Водяное колесо Малкуса , также называемое водяным колесом Лоренца или хаотическим водяным колесом . представляет собой механическую модель, демонстрирующую хаотическую динамику. Его движение определяется уравнениями Лоренца . В то время как классические водяные колеса вращаются в одном направлении с постоянной скоростью, водяное колесо Малкуса демонстрирует хаотическое движение, при котором его вращение ускоряется, замедляется, останавливается, меняет направление и непредсказуемо колеблется вперед и назад между комбинациями такого поведения.

Этот вариант водяного колеса был разработан Виллемом Малкусом в 1960-х годах. В качестве педагогического инструмента водяное колесо Малкус стало парадигматической реализацией хаотической системы и широко используется при преподавании теории хаоса.

Помимо педагогического использования, водяное колесо Малкуса активно изучалось исследователями динамических систем и хаоса.

В водяном колесе Малкус постоянный поток воды вливается в верхнее ведро простого круглого симметричного водяного колеса, а основание каждого ведра перфорировано, чтобы обеспечить слив воды. При низких скоростях притока колесо постоянно вращается в одном и том же направлении. При более высоких скоростях притока водяное колесо входит в хаотический режим, в котором оно меняет свое направление, ускоряется и замедляется, по-видимому, непредсказуемым образом. Дальнейшее увеличение набегающего потока заставляет водяное колесо возвращаться в периодическое состояние, в котором оно совершает колебания вперед и назад через фиксированные промежутки времени. С тех пор, как это было впервые предложено, с динамикой водяного колеса было связано множество экспериментальных и реальных применений. К ним относятся такие примеры, как динамика электровращения, халинное океаническое течение и конвекция Рэлея-Бенара.