Уравнение баланса населения

Уравнения баланса населения (УБП) были внедрены в несколько отраслей современной науки, главным образом в химическую инженерию , для описания эволюции популяции частиц. Сюда входят такие темы, как кристаллизация , выщелачивание (металлургия) , жидкостно-жидкостная экстракция , газожидкостные дисперсии, такие как электролиз воды , реакции жидкость-жидкость, измельчение, аэрозольная инженерия , биология (где отдельными объектами являются клетки в зависимости от их размера или внутриклеточные белки ), полимеризация и т. д. Можно сказать, что уравнения баланса населения получены как расширение уравнения коагуляции Смолуховского , которое описывает только слияние частиц. В более общем плане PBE определяют, как с течением времени развиваются популяции отдельных объектов на определенных объектах. Они представляют собой набор интегро-дифференциальных уравнений в частных производных , который дает среднее поведение популяции частиц на основе анализа поведения отдельной частицы в локальных условиях. Для систем частиц характерно рождение и смерть частиц. Например, рассмотрим процесс осаждения (образование твердого тела из жидкого раствора), который имеет подпроцессы зародышеобразования , агломерации , разрушения и т. д., приводящие к увеличению или уменьшению числа частиц определенного радиуса (при условии образования сферических частиц). . Баланс населения — это не что иное, как баланс количества частиц определенного состояния (в данном примере — размера ).

Состав ПБЕ

Рассмотрим среднее количество частиц со свойствами частиц, обозначенными вектором состояния частицы ( x , r ) (где x соответствует свойствам частицы, таким как размер, плотность и т. д., также известным как внутренние координаты, а r соответствует пространственному положению или внешним координатам). диспергированные в непрерывной фазе, определяемой фазовым вектором Y( r ,t) (который снова является функцией всех таких векторов, обозначающих свойства фазы в различных местах), обозначается f( x , r ,t). Следовательно, он дает характеристики частиц в областях свойств и пространства. Пусть h( x , r , Y ,t) обозначает скорость рождения частиц на единицу объема пространства состояний частицы, поэтому сохранение числа можно записать как

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)$

Это обобщенная форма ПБЕ.

Решение проблемы PBE

Методы Монте-Карло , дискретизации методы и моментные методы в основном используются для решения этих уравнений . Выбор зависит от приложения и вычислительной инфраструктуры.