Локально дискретный набор
В математике , особенно в топологии , коллекции подмножеств называются локально дискретными, если с локальной точки зрения они выглядят так, как будто содержат ровно один элемент. изучение локально дискретных коллекций имеет смысл теорема Бинга о метризации, Как показывает .
Формальное определение
[ редактировать ]Пусть X — топологическое пространство . Набор {G a } подмножеств X называется локально дискретным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую не более одного элемента набора. Набор подмножеств X называется счетно локально дискретным, если он представляет собой счетное объединение локально дискретных наборов.
Свойства и примеры
[ редактировать ]1. Локально дискретные совокупности всегда локально конечны . См. страницу о локальной конечности.
2. Если набор подмножеств топологического пространства X локально дискретен, он должен удовлетворять тому свойству, что каждая точка пространства принадлежит не более чем одному элементу набора. Это означает, что локально дискретными могут быть только совокупности попарно непересекающихся множеств.
3. Хаусдорфово пространство не может иметь локально дискретного базиса, если оно само не дискретно. То же самое свойство справедливо и T1 для пространства .
4. Следующее утверждение известно как теорема о метризации Бинга:
Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно и имеет счетно локально дискретный базис.
5. Счетный набор множеств обязательно счетно локально дискретен. Следовательно, если X — метризуемое пространство со счетной базой , справедливо одно следствие теоремы о метризации Бинга. По сути, теорема о метризации Бинга является почти следствием теоремы Нагаты-Смирнова .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Джеймс Манкрес (1999). Топология, 2-е издание, Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .