Модуль Демазуре

В математике модуль Демазюра , введенный Демазюром ( 1974a , 1974b ), представляет собой подмодуль конечномерного представления, порожденного экстремальным весовым пространством под действием борелевской подалгебры . Формула характера Демазюра , введенная Демазюром ( 1974b , теорема 2), дает характеры модулей Демазюра и является обобщением формулы характера Вейля .Размерность модуля Демазюра представляет собой полином старшего веса, называемый полиномом Демазюра .

Модули Демазуре

Предположим, что g — комплексная полупростая алгебра Ли с борелевской подалгеброй b, содержащей подалгебру Картана h . Неприводимое конечномерное представление V g пространством распадается как сумма собственных пространств h , а пространство со старшим весом является 1-мерным и является собственным b . Группа Вейля W действует на веса V , а сопряженные w λ вектора старшего веса λ под этим действием являются экстремальными весами, все весовые пространства которых одномерны.

Модуль Демазюра — это b -подмодуль V, весовым пространством экстремального вектора w λ, поэтому подмодули Демазюра V параметризуются группой Вейля W. порожденный

Есть два крайних случая: если w тривиален, то модуль Демазюра просто одномерен, а если — элемент максимальной длины W , то модуль Демазюра — это все неприводимое представление V. w

Модули Демазюра могут быть определены аналогичным образом для представлений алгебр Каца – Муди со старшим весом , за исключением того, что теперь есть 2 случая, поскольку можно рассматривать подмодули, порожденные либо борелевской подалгеброй b , либо ее противоположной подалгеброй. В конечномерном случае они заменяются самым длинным элементом группы Вейля, но в бесконечных измерениях это уже не так, поскольку самого длинного элемента нет.

Формула характера Демазюра

История

Формула характера Демазюра была введена ( Демазюр 1974b , теорема 2). Виктор Кац отметил, что доказательство Демазюра имеет серьезный пробел, поскольку оно зависит от ( Demazure 1974a , Proposition 11,section 2), что неверно; см. ( Джозеф 1985 , раздел 4) контрпример Каца. Андерсен (1985) дал доказательство формулы характера Демазюра, используя работы по геометрии многообразий Шуберта Раманана и Раманатана (1985) и Мехты и Раманатана (1985) . Джозеф (1985) дал доказательство для достаточно больших доминирующих модулей со старшим весом, используя методы алгебры Ли. Кашивара (1993) доказал уточненную версию формулы характера Демазюра, которую предположил Литтельманн (1995) (и доказал во многих случаях).

Заявление

Формула характера Демазюра:

${\text{Ch}}(F(w\lambda ))=\Delta _{1}\Delta _{2}\cdots \Delta _{n}e^{\lambda }$

Здесь:

• w — элемент группы Вейля с приведенным разложением w = s ₁ ... s _n как произведение отражений простых корней.
• λ — наименьший вес, а e ^л соответствующий элемент группового кольца весовой решетки.
• Ch( F ( w λ)) — характер модуля Демазюра F ( w λ).
• P — решетка весов, а Z [ P ] — ее групповое кольцо.
• $\rho$ представляет собой сумму фундаментальных весов, а действие точки определяется формулой $w\cdot u=w(u+\rho )-\rho$.
• Δ _α для α корень — это эндоморфизм Z -модуля Z [ P ], определяемый формулой

$\Delta _{\alpha }(u)={\frac {u-s_{\alpha }\cdot u}{1-e^{-\alpha }}}$

и ∆ _j — это ∆ _α, поскольку α является корнем s _j

Ссылки

• Андерсен, Х.Х. (1985), «Многообразия Шуберта и формула характера Демазюра», Inventiones Mathematicae , 79 (3): 611–618, doi : 10.1007/BF01388527 , ISSN   0020-9910 , MR   0782239 , S2CID   121295084
• Демазюр, Мишель (1974a), «Десингуляризация обобщенных многообразий Шуберта», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 53–88, doi : 10.24033/asens.1261 , ISSN   0012-9593 , MR   0354697
• Демазюр, Мишель (1974b), «Новая формула для символов», Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 98 (3): 163–172, ISSN   0007-4497 , MR   0430001
• Джозеф, Энтони (1985), «О формуле характера Демазюра», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 18 (3): 389–419, doi : 10.24033/asens.1493 , ISSN   0012-9593 , MR   0826100
• Кашивара, Масаки (1993), «Кристаллическая основа и уточненная формула характера Демазюра Литтельмана», Duke Mathematical Journal , 71 (3): 839–858, doi : 10.1215/S0012-7094-93-07131-1 , ISSN   0012-7094 , МР   1240605
• Литтельманн, Питер (1995), «Кристаллические графы и таблицы Янга», Journal of Algebra , 175 (1): 65–87, doi : 10.1006/jabr.1995.1175 , ISSN   0021-8693 , MR   1338967
• Мехта, В.Б.; Раманатан, А. (1985), «Расщепление Фробениуса и исчезающие когомологии для многообразий Шуберта», Annals of Mathematics , Second Series, 122 (1): 27–40, doi : 10.2307/1971368 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971368 , MR   0799251
• Раманан, С.; Раманатан, А. (1985), «Проективная нормальность многообразий флагов и многообразий Шуберта», Inventiones Mathematicae , 79 (2): 217–224, doi : 10.1007/BF01388970 , ISSN   0020-9910 , MR   0778124 , S2CID   123105737