Равнохордальная точка

Кривая (красная) с двумя хордами (черными), пересекающимися в равнохордальной точке.

В геометрии равнохордальная точка — это точка, определенная относительно выпуклой плоской кривой, такая, что все хорды, проходящие через эту точку, имеют одинаковую длину. Двумя распространенными фигурами с равнохордальными точками являются круг и лимасон . Кривая не может иметь более одной равнохордальной точки.

Эквихордальные кривые

Кривая называется равнохордальной, если она имеет равнохордальную точку. ^[1] Такую кривую можно построить как педальную кривую кривой постоянной ширины . ^[2] Например, педальная кривая круга — это либо другой круг (когда центр круга является точкой педали), либо лимасон ; обе являются равнохордальными кривыми.

Множественные равнохордальные точки

В 1916 году Фудзивара предложил вопрос о том, может ли кривая иметь две равнохордальные точки (предложив в той же статье доказательство того, что три или более точки невозможны). Независимо, год спустя, Бляшке, Роте и Вайценбёк задали тот же вопрос. ^[3] Проблема оставалась нерешенной до тех пор, пока в 1996 году Марек Рыхлик окончательно не доказал ее невозможность . ^[4]^[5] Несмотря на свою элементарную формулировку, задача равнохордальной точки была сложна в решении. Теорема Рычлика доказана методами расширенного комплексного анализа и алгебраической геометрии и занимает 72 страницы.

Ссылки

^ Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0619-7
^ Келли, Пол Дж. (1957), «Кривые с некоторой постоянной шириной», American Mathematical Monthly , 64 (5): 333–336, doi : 10.2307/2309594 , JSTOR 2309594 , MR 0092168 .
^ В. Блашке, В. Роте и Р. Вайцтенбёк. Упражнение 552. Арх. Матем. Физика, 27:82, 1917.
^ Рычлик, Марек (1996), «Проблема равнохордальной точки», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 2 (3): 108–123, doi : 10.1090/S1079-6762-96-00015-7 , MR 1426720 .
^ Рыхлик, Марек Р. (1997), «Полное решение проблемы равнохордальной точки Фудзивара, Бляшке, Роте и Вайценбека», Inventiones Mathematicae , 129 (1): 141–212, Bibcode : 1997InMat.129..141R , doi : 10.1007/s002220050161 , MR 1464869 , S2CID 17998996 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Равнохордальная точка» . Математический мир .

[1] Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0619-7

[2] Келли, Пол Дж. (1957), «Кривые с некоторой постоянной шириной», American Mathematical Monthly , 64 (5): 333–336, doi : 10.2307/2309594 , JSTOR 2309594 , MR 0092168 .

[3] В. Блашке, В. Роте и Р. Вайцтенбёк. Упражнение 552. Арх. Матем. Физика, 27:82, 1917.

[4] Рычлик, Марек (1996), «Проблема равнохордальной точки», Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society , 2 (3): 108–123, doi : 10.1090/S1079-6762-96-00015-7 , MR 1426720 .

[5] Рыхлик, Марек Р. (1997), «Полное решение проблемы равнохордальной точки Фудзивара, Бляшке, Роте и Вайценбека», Inventiones Mathematicae , 129 (1): 141–212, Bibcode : 1997InMat.129..141R , doi : 10.1007/s002220050161 , MR 1464869 , S2CID 17998996 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]