Проблема равнохордальной точки

В евклидовой плоской геометрии проблема равнохордальной точки — это вопрос, может ли замкнутое плоское выпуклое тело иметь две равнохордальные точки . ^{[ 1 ]} Первоначально проблема была поставлена в 1916 году Фудзивара и в 1917 году Вильгельмом Блашке , Германом Роте и Роландом Вайценбеком . ^{[ 2 ]} На обобщение этой постановки задачи в 1997 году Марек Рыхлик ответил отрицательно. ^{[ 3 ]}

Постановка задачи

Эквихордальная кривая — это замкнутая плоская кривая, для которой существует точка плоскости, такая что все хорды, проходящие через эту точку, имеют одинаковую длину. ^{[ 4 ]} Такая точка называется равнохордальной точкой . Легко построить равнохордальные кривые с одной равнохордальной точкой: ^{[ 4 ]} особенно когда кривые симметричны ; ^{[ 5 ]} Самая простая конструкция — круг .

Долгое время высказывалась лишь гипотеза о том, что выпуклая равнохордальная кривая с двумя равнохордальными точками не может существовать. В более общем плане был задан вопрос, существует ли жордановая кривая. $C$ с двумя равнохордальными точками $O_{1}$ и $O_{2}$ , такой, что кривая $C$ будет иметь звездообразную форму относительно каждой из двух точек. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

Эксцентричность (или эксцентричность)

Многие результаты об эквихордальных кривых относятся к их эксцентриситету. Оказывается, чем меньше эксцентриситет, тем труднее опровергнуть существование кривых с двумя равнохордальными точками. Можно строго показать, что малый эксцентриситет означает, что кривая должна быть близка к окружности. ^{[ 6 ]}

Позволять $C$ — гипотетическая выпуклая кривая с двумя равнохордальными точками $O_{1}$ и $O_{2}$ . Позволять $L$ — общая длина всех хорд кривой $C$ проходя через $O_{1}$ или $O_{2}$ . Тогда эксцентриситет – это отношение

a={\frac {\|O_{1}-O_{2}\|}{L}}

где $\|O_{1}-O_{2}\|$ это расстояние между точками $O_{1}$ и $O_{2}$ .

История проблемы

Проблема широко изучалась, и за восемь десятилетий до ее решения были опубликованы важные статьи:

В 1916 году Фудзивара ^{[ 7 ]} доказал, что не существует выпуклых кривых с тремя равнохордальными точками.
В 1917 году Бляшке, Роте и Вайценбёк ^{[ 2 ]} еще раз сформулировал задачу.
В 1923 году Зюсс показал определенную симметрию и уникальность кривой, если она существовала.
В 1953 г. Г. А. Дирак показал некоторые явные границы кривой, если она существовала.
Савойская капуста в 1958 году. ^{[ 8 ]} показал, что кривая, если она существует, должна быть аналитической кривой . В этой глубокой статье он правильно определил проблему как проблему возмущений вне всех порядков .
В 1966 году Эрхарт ^{[ 9 ]} доказал, что не существует равнохордальных кривых с эксцентриситетом > 0,5.
В 1974 году Холлстрем ^{[ 10 ]} дал условие для кривой, если она существует, которое показывает, что она должна быть уникальной, аналитической, симметричной, и предоставляет средства (при достаточной мощности компьютера) для демонстрации несуществования любого конкретного эксцентриситета.
В 1988 году Микелаччи доказал, что не существует равнохордальных кривых с эксцентриситетом > 0,33. Доказательство слегка компьютеризировано.
В 1992 году Шефке и Фолькмер ^{[ 6 ]} показал, что существует не более конечного числа значений эксцентриситета, при которых кривая может существовать. Они наметили осуществимую стратегию компьютерного доказательства. Их метод состоит в получении чрезвычайно точных приближений к гипотетической кривой.
В 1996 году Рычлик ^{[ 3 ]} полностью решил проблему.

Доказательство Рычлика

Доказательство Марека Рыхлика было опубликовано в трудночитаемой статье. ^{[ 3 ]} Существует также легко читаемая, свободно доступная в Интернете статья с анонсом исследования. ^{[ 11 ]} но это лишь намекает на идеи, использованные в доказательстве.

Для доказательства не используется компьютер. Вместо этого он вводит комплексификацию исходной проблемы и развивает обобщение теории нормально гиперболических инвариантных кривых и устойчивых многообразий на многозначные отображения. $F:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ . Этот метод позволяет использовать глобальные методы комплексного анализа . Прототипом глобальной теоремы является теорема Лиувилля . Другая глобальная теорема — это теорема Чоу . Глобальный метод был использован при доказательстве теоремы Ушики . ^{[ 12 ]}

См. также

Подобные задачи и их обобщения также изучались.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Виктор Клее; Стэн Вагон (1991), Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-315-3
^ Jump up to: ^а ^б В. Блашке, Х. Роте и Р. Вайценбёк. Упражнение 552. Арх. Мат. физ., 27:82, 1917.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Марек Р. Рыхлик (1997), «Полное решение проблемы равнохордальной точки Фудзивары, Бляшке, Роте и Вайценбека», Inventiones Mathematicae , 129 (1): 141–212, Bibcode : 1997InMat.129..141R , doi : 10.1007/с002220050161 , S2CID 17998996
^ Jump up to: ^а ^б Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0619-7
^ Ференц Адорьян (18 марта 1999 г.), Эквихордальные кривые и их приложения - геометрия безпульсационного насоса (PDF)
^ Jump up to: ^а ^б Р. Шефке и Х. Фолькмер, Асимптотический анализ эквихордальной проблемы, Дж. Рейн Ангью. Математика. 425 (1992), 9–60
^ М. Фудзивара. О центральной кривой двух замкнутых выпуклых относительно точки кривых. Тохоку Математик Дж., 10: 99–103, 1916 г.
^ Э. Вирсинг, Об анализе кривых с двумя спицами, Arch. 9 (1958), 300–307.
^ Р. Эрхарт, Овал с двумя точками изохорды?, Преподавание математики. 13 (1967), 119–124
^ А. Халлстрем, Равнохордальные и равновзаимные точки, Bogazici Univesitesi Dergisi Temel Bilimier-Sciences (1974), 83-88
^ Марек Рыхлик, Проблема равнохордальной точки, Электронные объявления об исследованиях AMS, 1996, страницы 108–123, доступно в Интернете по адресу [1].
^ С. Ушики. О шейных соединениях аналитических динамических систем. ЧР акад. наук. Париж, 291(7):447–449, 1980 г.

[problems-geometry-1] Jump up to: ^а ^б Виктор Клее; Стэн Вагон (1991), Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-315-3

[Blaschke-2] Jump up to: ^а ^б В. Блашке, Х. Роте и Р. Вайценбёк. Упражнение 552. Арх. Мат. физ., 27:82, 1917.

[The_Proof-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Марек Р. Рыхлик (1997), «Полное решение проблемы равнохордальной точки Фудзивары, Бляшке, Роте и Вайценбека», Inventiones Mathematicae , 129 (1): 141–212, Bibcode : 1997InMat.129..141R , doi : 10.1007/с002220050161 , S2CID 17998996

[equichordal-point-4] Jump up to: ^а ^б Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0619-7

[symmetric-5] Ференц Адорьян (18 марта 1999 г.), Эквихордальные кривые и их приложения - геометрия безпульсационного насоса (PDF)

[Volkmer-6] Jump up to: ^а ^б Р. Шефке и Х. Фолькмер, Асимптотический анализ эквихордальной проблемы, Дж. Рейн Ангью. Математика. 425 (1992), 9–60

[Fujiwara-7] М. Фудзивара. О центральной кривой двух замкнутых выпуклых относительно точки кривых. Тохоку Математик Дж., 10: 99–103, 1916 г.

[Wirsing-8] Э. Вирсинг, Об анализе кривых с двумя спицами, Arch. 9 (1958), 300–307.

[Erhhart-9] Р. Эрхарт, Овал с двумя точками изохорды?, Преподавание математики. 13 (1967), 119–124

[Hallstrom-10] А. Халлстрем, Равнохордальные и равновзаимные точки, Bogazici Univesitesi Dergisi Temel Bilimier-Sciences (1974), 83-88

[The_Announcement-11] Марек Рыхлик, Проблема равнохордальной точки, Электронные объявления об исследованиях AMS, 1996, страницы 108–123, доступно в Интернете по адресу [1].

[Ushiki_Standard_Map_Theorem-12] С. Ушики. О шейных соединениях аналитических динамических систем. ЧР акад. наук. Париж, 291(7):447–449, 1980 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]