Проблема возмущений за пределами всех порядков

В математике теория возмущений обычно работает путем разложения неизвестной величины в степенной ряд по малому параметру. Однако в задаче о возмущениях за пределами всех порядков все коэффициенты разложения по возмущениям обращаются в нуль , и разница между функцией и постоянной функцией 0 не может быть обнаружена с помощью степенного ряда.

Простой пример понимается как попытка расширить $e^{-1/\epsilon }$ в серии Тейлора в $\epsilon >0$ около 0. Все члены наивного разложения Тейлора тождественно равны нулю. Это потому, что функция $e^{-1/z}$ обладает существенной особенностью $z=0$ в комплексе $z$-плоскость, и поэтому функция наиболее подходящим образом моделируется рядом Лорана — ряд Тейлора имеет нулевой радиус сходимости . Таким образом, если физическая задача имеет решение такого рода, возможно, в дополнение к аналитической части, которая может быть смоделирована степенным рядом, пертурбативный анализ не сможет восстановить сингулярную часть. Условия природы похожи на $e^{-1/\epsilon }$ считаются «вне всех порядков» стандартного пертурбативного степенного ряда.

См. также

Асимптотическое расширение

Ссылки

• Дж. П. Бойд, «Изобретение дьявола: асимптотический, суперасимптотический и гиперасимптотический ряд», https://link.springer.com/article/10.1023/A:1006145903624
• К.М. Бендер и С.А. Орзаг, «Передовые математические методы для ученых и инженеров», https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4757-3069-2.
• К.М. Бендер, Лекции по математической физике, https://www.perimeterinstitute.ca/video-library/collection/11/12-psi-mathematical-физика. Архивировано 9 января 2017 г. в Wayback Machine.