Эквиходальная точка

Кривая (красная) с двумя аккордами (черным), пересекающимися в равенственной точке.

В геометрии эквихордальная точка является точкой, определенной относительно выпуклой кривой плоскости, так что все аккорды, проходящие через точку, равны по длине. Две общие фигуры с эквиходальными точками - это кружок и лимано . Для кривой невозможно иметь более одного равенственного пункта.

Эквиходальные кривые

Кривая называется equichordal, когда у нее есть эквиходальная точка. ^{[ 1 ]} Такая кривая может быть построена как кривая педали кривой постоянной ширины . ^{[ 2 ]} Например, кривая педали круга - это либо другой круг (когда центр круга - точка педали), либо лимапоч ; Оба являются равноправными кривыми.

Несколько эквиходальных точек

В 1916 году Фудзивара предложил вопрос о том, может ли кривая иметь две эквихордированные точки (предлагая в той же статье доказательство того, что три или более невозможно). Независимо, год спустя, Блашке, Роте и Вайценбёк задали тот же вопрос. ^{[ 3 ]} Проблема оставалась нерешенной, пока она не была, наконец, не была доказана невозможной в 1996 году Мареком Ричликом . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Несмотря на свою элементарную формулировку, задача о эквинокордальной точке была трудно решить. Теорема Rychlik подтверждена методами передового сложного анализа и алгебраической геометрии, и она составляет 72 страницы.

Ссылки

^ Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0619-7
^ Келли, Пол Дж. (1957), «Кривые с некой постоянной шириной», Американский математический месяц , 64 (5): 333–336, doi : 10.2307/2309594 , JStor 2309594 , MR 0092168 .
^ W. Blaschke, W. Rothe и R. Weitztenböck. Задача 552. Арх.
^ Rychlik, Marek (1996), «Задача о эквинордальной точке», Электронные исследования Американского математического общества , 2 (3): 108–123, doi : 10.1090/s1079-6762-96-00015-7 , гр. 1426720 .
^ Rychlik, Marek R. (1997), «Полное решение для справедливости в эквиходальной точке Fujiwara, Blaschke, Rothe и Weitzenböck», Inventiones Matematicae , 129 (1): 141–212, bibcode : 1997inmat.129..141r , doi : 10.1007/S00220050161 , MR 1464869 , S2CID 17998996 .

Внешние ссылки

Вейсштейн, Эрик В. "Эвиходальная точка" . MathWorld .

[1] Стивен Г. Кранц (1997), Методы решения проблем , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0619-7

[2] Келли, Пол Дж. (1957), «Кривые с некой постоянной шириной», Американский математический месяц , 64 (5): 333–336, doi : 10.2307/2309594 , JStor 2309594 , MR 0092168 .

[3] W. Blaschke, W. Rothe и R. Weitztenböck. Задача 552. Арх.

[4] Rychlik, Marek (1996), «Задача о эквинордальной точке», Электронные исследования Американского математического общества , 2 (3): 108–123, doi : 10.1090/s1079-6762-96-00015-7 , гр. 1426720 .

[5] Rychlik, Marek R. (1997), «Полное решение для справедливости в эквиходальной точке Fujiwara, Blaschke, Rothe и Weitzenböck», Inventiones Matematicae , 129 (1): 141–212, bibcode : 1997inmat.129..141r , doi : 10.1007/S00220050161 , MR 1464869 , S2CID 17998996 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]