Выпуклая крышка

Не путать с эффектом плавающего тела или выпуклой шляпкой грибов ( шляпкой ).

, Выпуклая крышка также известная как выпуклое плавающее тело. или просто плавающее тело , — это четко определенная структура в математике, обычно используемая в выпуклом анализе для аппроксимации выпуклых форм. В общем, его можно рассматривать как пересечение выпуклого многогранника с полупространством .

Определение

Кепка, $C$ можно определить как пересечение полупространства $H$ с выпуклым множеством $K$. Обратите внимание, что шапку можно определить в любом размерном пространстве. Учитывая $\lambda \geq 1$, $C^{\lambda }$ можно определить как шапку, содержащую $C$ соответствующее полупространству, параллельному $H$ с шириной $\lambda$ раз больше, чем у оригинала.

Определение ограничения также можно расширить, чтобы определить ограничение точки. $x$ где кепка $C$ можно определить как пересечение выпуклого множества $K$ с полупространством $H$ содержащий $x$. Минимальный предел пункта – это предел $x$ с $\operatorname {vol} (C(x))=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$.

Плавающие корпуса и крышки

Мы можем определить плавающее тело выпуклой формы $H$ используя следующий процесс. Обратите внимание, что плавающее тело также выпуклое. В случае двумерной выпуклой компактной формы $K$, учитывая некоторые $\delta >0$ где $\delta$ мал. Плавающее тело этой двухмерной формы получается путем удаления всех двумерных границ области. $\delta$ от исходного тела. Полученная форма и будет нашим выпуклым плавающим телом. $K\delta$. Мы обобщаем это определение на n измерений, начиная с n-мерной выпуклой формы и удаляя заглушки в соответствующем измерении.

Отношение к площади аффинной поверхности

Как $\delta \rightarrow 0$, плавающее тело более близко приближается $K$. Эта информация может рассказать нам о площади аффинной поверхности. $\Omega (K)$ из $K$ который измеряет, как граница ведет себя в этой ситуации. Если мы возьмем выпуклое плавающее тело формы, мы заметим, что расстояние от границы плавающего тела до границы выпуклой формы связано с кривизной выпуклой формы. В частности, выпуклые формы с более высокой кривизной имеют большее расстояние между двумя границами. Взглянув на разницу площадей исходного тела и плавающего тела, как $\delta \rightarrow 0$. Используя соотношение между кривизной и расстоянием, мы можем сделать вывод, что $A(K)-A(K\delta )$ также зависит от кривизны. Таким образом,

$\Omega (K)=\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{3}}dl}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{3}}}}$.

В этой формуле $\kappa (x)$ это кривизна $\operatorname {bd} K$ в $x$ и $l$ это длина кривой.

Мы можем обобщить расстояние, площадь и объём для n измерений, используя меру Хаусдорфа . Это определение тогда работает для всех $n\geq 0$. Кроме того, сила $\kappa (x)$ связано с обратным $n+1$ где $n$ это количество измерений. Итак, площадь аффинной поверхности для n-мерной выпуклой формы равна

$\int _{\operatorname {bd} K}{\kappa (x)^{\frac {1}{n+1}}d\sigma (x)}\approx {\frac {A(K)-A(K\delta )}{\delta ^{\frac {2}{n+1}}}}$

где $\sigma (x)$ это $(n-1)$-мерная мера Хаусдорфа.

Мокрая часть выпуклого тела

Влажную часть выпуклого тела можно определить как $K(t)=K(v\leq t)=\{x\in K:v(x)\leq t\}$ где $t$ любое действительное число, описывающее максимальный объем влажной части и $v(x)=\operatorname {min} \{\operatorname {vol} (K\cap H):x\in H\}$.

Мы видим, что использование невырожденного линейного преобразования (того, чья матрица обратима ) сохраняет любые свойства $K(t)$. Итак, мы можем сказать, что $v:K\rightarrow \mathbb {R}$ эквивариантно относительно этих типов преобразований. Используя это обозначение, $v_{AK}(Ax)=|\mathrm {det} A|v_{K}(x)$. Обратите внимание, что

${\frac {\mathrm {vol} (K(v\leq t\mathrm {vol} (K)))}{\mathrm {vol} (K)}}$

также эквивариантен относительно невырожденных линейных преобразований.

Шапки для приближения

Предполагать $K\in {\mathcal {K_{1}}}=\{K:\mathrm {vol} (K)=1\}$ и выбери $x_{1},...,x_{n}$ случайным образом, независимо и по равномерному распределению от $K$. Затем, $K_{n}={\text{conv}}\{x_{1},...,x_{n}\}$ является случайным многогранником. Интуитивно понятно, что, как $n\rightarrow \infty$, $K_{n}$ подходы $K$. Мы можем определить, насколько хорошо $K_{n}$ приближает $K$ в различных мерах приближения, но мы в основном ориентируемся на объем. Итак, мы определяем $E(K,n)=E(\mathrm {vol} K-\mathrm {vol} K_{n})$, когда $E$ относится к ожидаемому значению . Мы используем $K(t)=K(v\leq t)$ как мокрая часть $K$ и $K(v\geq t)$ как плавающее тело $K$. Следующая теорема утверждает, что общий принцип, определяющий $E(K,n)$ того же порядка, что и величина объема влажной части с $t={\frac {1}{n}}$.

Теорема

Для $K\in {\mathcal {K}}_{1}$ и $n\geq d+1$, $\mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})\ll E(K,n)\ll \mathrm {vol} K({\frac {1}{n}})$. Доказательство этой теоремы основано на технике М-областей и шапочных покрытий. Мы можем использовать минимальный предел, который является пределом $C(x)$ содержащий $x$ и удовлетворение $\mathrm {vol} C(x)=v(x)$. Хотя минимальная шапка не единственна, на доказательство теоремы это не влияет.

Лемма

Если $x\in K$ и $v(x)<\varepsilon _{0}$, затем $C(x)\subset M(x,3d)$ за каждый минимальный лимит $C(x)$.

С $M(x)\subset C^{2}(x)$, эта лемма устанавливает эквивалентность M-областей $M(x)$ и минимальный колпачок $C(x)$: увеличенная копия $M(x)$ содержит $C(x)$ и взорванная копия $C(x)$ содержит $M(x)$. Таким образом, М-регионы и минимальные шапки можно свободно менять местами, не теряя при этом более чем постоянного множителя.

Экономическое ограничение покрытия

Покрытие шапочки можно определить как совокупность шапочек, полностью закрывающих некоторую границу. $D$. Минимизируя размер каждой крышки, мы можем минимизировать размер набора крышек и создать новый набор. Этот набор пределов минимального объема называется покрытием экономического предела и может быть явно определен как набор пределов $C$ охватывающий некоторую границу $D$ где каждый $C_{i}$ имеет некоторую минимальную ширину $\varepsilon$ и полный объем этого покрытия ≪ $\varepsilon$ ⋅ $vol(D)$.