Многочастичная локализация

Локализация многих тел (MBL) — это динамическое явление, происходящее в изолированных квантовых системах многих тел . Он характеризуется тем, что система не может достичь теплового равновесия и сохраняет память о своем начальном состоянии в локальных наблюдаемых в течение бесконечного времени. ^{[ 1 ]}

Термализация и локализация

Учебник квантовой статистической механики ^{[ 2 ]} предполагает, что системы приходят к тепловому равновесию ( термализации ). Процесс термализации стирает локальную память о начальных условиях. В учебниках термализация обеспечивается за счет связи системы с внешней средой или «резервуаром», с которым система может обмениваться энергией. Что произойдет, если система будет изолирована от окружающей среды и будет развиваться согласно собственному уравнению Шредингера ? Система все еще термализуется?

Квантово-механическая эволюция во времени унитарна и формально сохраняет всю информацию о начальном состоянии в квантовом состоянии во все времена. Однако квантовая система в общем случае содержит макроскопическое число степеней свободы, но ее можно исследовать только с помощью измерений нескольких тел, которые являются локальными в реальном пространстве. Тогда возникает значимый вопрос: демонстрируют ли доступные локальные измерения термализацию.

Этот вопрос можно формализовать, рассматривая квантовомеханическую матрицу плотности $ρ$ системы. Если система разделена на подобласть $А$ (исследуемая область) и ее дополнение $Б$ (все остальное), то вся информация, которую можно извлечь путем измерений, выполненных только на $А,$ кодируется в приведенной матрице плотности. $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho (t)$ . Если в долгосрочном периоде $\rho _{A}(t)$ приближается к матрице тепловой плотности при температуре, заданной плотностью энергии в состоянии, то система «термализуется», и из локальных измерений невозможно извлечь локальную информацию о начальном состоянии. Этот процесс «квантовой термализации» можно понимать как $B,$ как резервуар для $A.$ действующий С этой точки зрения энтропия запутанности $S=-\operatorname {Tr} (\rho _{A}\log \rho _{A})$ термализующейся системы в чистом состоянии играет роль тепловой энтропии. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Таким образом, термализующиеся системы обычно имеют обширную энтропию запутывания или «объемный закон» при любой ненулевой температуре. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} Они также в целом подчиняются гипотезе термализации собственных состояний (ETH). ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Напротив, если $\rho _{A}(T)$ не может приблизиться к матрице тепловой плотности даже в течение длительного времени и вместо этого остается близким к своему исходному состоянию. $\rho _{A}(0)$ , то система навсегда сохраняет память о своем начальном состоянии в локальных наблюдаемых. Эта последняя возможность называется «многочастичной локализацией» и предполагает, что $не$ может выступать в качестве резервуара для $A.$ B Система, находящаяся в локализованной фазе многих тел, демонстрирует MBL и продолжает проявлять MBL, даже когда подвергается произвольным локальным возмущениям. Собственные состояния систем, демонстрирующих MBL, не подчиняются ETH и в целом следуют «закону площади» для энтропии запутанности (т.е. энтропия запутанности масштабируется в зависимости от площади поверхности подобласти $A$ ). Краткий список свойств, отличающих термолизирующие системы от MBL, приведен ниже.

В термализующихся системах память о начальных условиях недоступна в локальных наблюдаемых на длительных временах. В системах MBL память о начальных условиях остается доступной в локальных наблюдаемых в течение длительного времени.
В термализующихся системах собственные состояния энергии подчиняются ETH. В системах MBL собственные состояния энергии не подчиняются ETH.
В термализующихся системах собственные состояния энергии имеют энтропию запутывания по объемному закону. В системах MBL собственные состояния энергии имеют энтропию запутывания по закону площади.
Термализующие системы обычно имеют ненулевую теплопроводность. Системы MBL имеют нулевую теплопроводность.
Термализующиеся системы имеют непрерывный локальный спектр. Системы MBL имеют дискретные локальные спектры. ^{[ 12 ]}
В термализующихся системах энтропия запутанности растет во времени по степенному закону, начиная с начальных условий низкой запутанности. ^{[ 13 ]} В системах MBL энтропия запутанности растет логарифмически во времени, начиная с начальных условий низкой запутанности. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}
В термализующих системах динамика вневременно упорядоченных корреляторов образует линейный световой конус, отражающий баллистическое распространение информации. В системах MBL световой конус логарифмический. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

История

MBL был впервые предложен П.В. Андерсоном в 1958 году. ^{[ 22 ]} как возможность, которая может возникнуть в сильно неупорядоченных квантовых системах. Основная идея заключалась в том, что если все частицы живут в случайном энергетическом ландшафте, то любая перестановка частиц изменит энергию системы. Поскольку энергия является сохраняющейся величиной в квантовой механике, такой процесс может быть только виртуальным и не может привести к какому-либо переносу числа частиц или энергии.

Хотя локализация для одночастичных систем была продемонстрирована уже в оригинальной статье Андерсона (которая стала известна как локализация Андерсона ), существование этого явления для многих систем частиц оставалось гипотезой на протяжении десятилетий. В 1980 году Флейшман и Андерсон ^{[ 23 ]} продемонстрировал, что это явление сохранилось после добавления взаимодействий к низшему порядку теории возмущений . В исследовании 1998 года ^{[ 24 ]} анализ был распространен на все порядки теории возмущений в нульмерной системе , и было показано, что явление MBL сохраняется. В 2005 году ^{[ 25 ]} и 2006 г., ^{[ 26 ]} это было распространено на высокие порядки теории возмущений в системах большой размерности. Утверждалось, что MBL выживает, по крайней мере, при низкой плотности энергии. Серия числовых работ ^{[ 27 ]}^{[ 14 ]}^{[ 28 ]} ^{[ 29 ]} предоставил дополнительные доказательства явления в одномерных системах при всех плотностях энергии («бесконечная температура»). Наконец, в 2014 г. ^{[ 30 ]} Имбри представил доказательство MBL для некоторых одномерных спиновых цепочек с сильным беспорядком, локализация которых устойчива к произвольным локальным возмущениям, т. е. было показано, что системы находятся в многочастичной локализованной фазе.

В настоящее время считается, что MBL может возникать также в системах «Флоке» с периодическим приводом, где энергия сохраняется только по модулю частоты привода. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}

Возникающая интегрируемость

Многие локализованные в теле системы демонстрируют явление, известное как эмерджентная интегрируемость. В невзаимодействующем изоляторе Андерсона число заполнения каждой локализованной одночастичной орбитали отдельно является локальным интегралом движения. Было высказано предположение ^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} (и доказано Имбри), что аналогичный обширный набор локальных интегралов движения также должен существовать и в фазе MBL. Рассмотрим для конкретности одномерную цепочку со спином 1/2 с гамильтонианом

H=\sum _{i}\left[J\left(X_{i}X_{i+1}+Y_{i}Y_{i+1}\right)+J^{\prime }Z_{i}Z_{i+1}+h_{i}Z_{i}\right],

где $X$ , $Y$ и $Z$ — операторы Паули, а $h I$ полученные из распределения некоторой ширины $W.$ — случайные величины , Когда беспорядок настолько силен ( $W > W c$ ), что все собственные состояния локализованы, тогда существует локальное унитарное преобразование к новым переменным $τ$ такое, что

H=\sum _{i}h_{i}^{\prime }\tau _{i}^{z}+\sum _{ij}J_{ij}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}+\sum _{ijk}K_{ijk}\tau _{i}^{z}\tau _{j}^{z}\tau _{k}^{z}+\cdots ,

где $τ$ — операторы Паули, которые связаны с физическими операторами Паули локальным унитарным преобразованием, ... указывает на дополнительные члены, которые включают только $τ С$ операторы, а коэффициенты экспоненциально падают с расстоянием. Этот гамильтониан явно содержит большое количество локализованных интегралов движения или «l-битов» (операторы $τ С i$ , которые все коммутируют с гамильтонианом). Если исходный гамильтониан нарушен, l-биты переопределяются, но интегрируемая структура сохраняется.

Экзотические заказы

MBL позволяет формировать экзотические формы квантового порядка, которые не могли возникнуть в условиях теплового равновесия, благодаря явлению квантового порядка, защищенного локализацией . ^{[ 36 ]} Разновидностью защищенного от локализации квантового порядка, возникающего только в периодически управляемых системах, является кристалл времени Флоке . ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}

Экспериментальные реализации

Сообщалось о ряде экспериментов по наблюдению явления MBL. ^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]} Большинство этих экспериментов связаны с синтетическими квантовыми системами, такими как совокупности ультрахолодных атомов или захваченных ионов . ^{[ 46 ]} Экспериментальные исследования этого явления в твердотельных системах все еще находятся в зачаточном состоянии.

См. также

Ссылки

^ Нандкишор, Рахул; Хьюз, Дэвид А. (2015). «Многочастичная локализация и термализация в квантовой статистической механике». Ежегодный обзор физики конденсированного состояния . 6 (1): 15–38. arXiv : 1404.0686 . Бибкод : 2015ARCMP...6...15N . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-031214-014726 . ISSN 1947-5454 . S2CID 118465889 .
^ Сакурай Дж.Дж. 1985. Современная квантовая механика . Менло-Парк, Калифорния: Бенджамин/Каммингс
^ Дойч, Дж. М. (26 июля 2010 г.). «Термодинамическая энтропия собственного состояния энергии многих тел». Новый журнал физики . 12 (7): 075021. arXiv : 0911.0056 . дои : 10.1088/1367-2630/12/7/075021 . S2CID 119180376 .
^ Сантос, Леа Ф.; Полковников, Анатолий; Ригол, Маркос (5 июля 2012 г.). «Слабая и сильная типичность в квантовых системах» . Физический обзор E . 86 (1): 010102.arXiv : 1202.4764 . дои : 10.1103/PhysRevE.86.010102 . ПМИД 23005351 .
^ Дойч, Дж. М.; Ли, Хайбин; Шарма, Аудтья (30 апреля 2013 г.). «Микроскопическое происхождение термодинамической энтропии в изолированных системах». Физический обзор E . 87 (4): 042135. arXiv : 1202.2403 . дои : 10.1103/PhysRevE.87.042135 . ПМИД 23679399 . S2CID 699412 .
^ Гаррисон, Джеймс Р.; Гровер, Тарун (30 апреля 2018 г.). «Кодирует ли одно собственное состояние полный гамильтониан?» . Физический обзор X . 8 (2): 021026. arXiv : 1503.00729 . дои : 10.1103/PhysRevX.8.021026 .
^ Дымарский, Анатолий; Лашкари, Нима; Лю, Хун (25 января 2018 г.). «Гипотеза термализации собственных состояний подсистемы». Физический обзор E . 97 (1): 012140. doi : 10.1103/PhysRevE.97.012140 . hdl : 1721.1/114450 . ПМИД 29448325 .
^ Хуан, Ичэнь (январь 2019 г.). «Универсальная запутанность собственных состояний хаотических локальных гамильтонианов» . Ядерная физика Б . 938 : 594–604. arXiv : 1708.08607 . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.09.013 .
^ Дойч, Дж. М. (1 февраля 1991 г.). «Квантовая статистическая механика в закрытой системе». Физический обзор А. 43 (4): 2046–2049. Бибкод : 1991PhRvA..43.2046D . дои : 10.1103/PhysRevA.43.2046 . ПМИД 9905246 . S2CID 40633146 .
^ Средницкий, Марк (1 августа 1994 г.). «Хаос и квантовая термализация». Физический обзор E . 50 (2): 888–901. arXiv : cond-mat/9403051 . Бибкод : 1994PhRvE..50..888S . дои : 10.1103/PhysRevE.50.888 . ПМИД 9962049 . S2CID 16065583 .
^ Ригол, Маркос; Дунько, Ваня; Ольшаний, Максим (апрель 2008 г.). «Термализация и ее механизм для общих изолированных квантовых систем». Природа . 452 (7189): 854–858. arXiv : 0708.1324 . Бибкод : 2008Natur.452..854R . дои : 10.1038/nature06838 . ПМИД 18421349 . S2CID 4384040 .
^ Нандкишор, Рахул; Гопалакришнан, Саранг; Хьюз, Дэвид А. (2014). «Спектральные особенности многочастичной системы, слабо связанной с ванной». Физический обзор B . 90 (6): 064203. arXiv : 1402.5971 . дои : 10.1103/PhysRevB.90.064203 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118568500 .
^ Ким, Хёнвон; Хьюз, Дэвид А. (2013). «Баллистическое распространение запутанности в диффузной неинтегрируемой системе». Письма о физических отзывах . 111 (12): 127205. arXiv : 1306.4306 . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.127205 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 24093298 . S2CID 41548576 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Жнидарич, Марко; Просен, Томаж; Преловшек, Петр (25 февраля 2008 г.). «Многочастичная локализация в магните Гейзенберга XXZ в случайном поле». Физический обзор Б. 77 (6): 064426. arXiv : 0706.2539 . дои : 10.1103/PhysRevB.77.064426 . S2CID 119132600 .
^ Бардарсон, Йенс Х.; Поллманн, Франк; Мур, Джоэл Э. (2012). «Неограниченный рост запутанности в моделях многочастичной локализации» . Письма о физических отзывах . 109 (1): 017202. arXiv : 1202.5532 . doi : 10.1103/PhysRevLett.109.017202 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23031128 .
^ Хуан, Ичэнь (май 2017 г.). «Динамика запутанности в критической случайной квантовой цепочке Изинга с возмущениями» (PDF) . Анналы физики . 380 : 224–227. дои : 10.1016/j.aop.2017.02.018 . S2CID 44548875 .
^ Хуан, Ичен; Чжан, Юн-Лян; Чен, Се (июль 2017 г.). «Вневременно упорядоченные корреляторы в локализованных системах многих тел» (PDF) . Аннален дер Физик . 529 (7): 1600318. doi : 10.1002/andp.201600318 . S2CID 42690831 .
^ Фань, Жуйхуа; Чжан, Пэнфэй; Шен, Хуитао; Чжай, Хуэй (май 2017 г.). «Вневременная корреляция для локализации многих тел» . Научный вестник . 62 (10): 707–711. arXiv : 1608.01914 . дои : 10.1016/j.scib.2017.04.011 .
^ Он, Ронг-Цян; Лу, Чжун-И (10 февраля 2017 г.). «Характеристика локализации многих тел с помощью вневременной корреляции». Физический обзор B . 95 (5): 054201. arXiv : 1608.03586 . doi : 10.1103/PhysRevB.95.054201 . S2CID 119268185 .
^ Свингл, Брайан; Чоудхури, Дебанджан (21 февраля 2017 г.). «Медленное скремблирование в неупорядоченных квантовых системах». Физический обзор B . 95 (6): 060201. doi : 10.1103/PhysRevB.95.060201 . hdl : 1721.1/107244 . S2CID 53485500 .
^ Чен, Сяо; Чжоу, Тяньчи; Хьюз, Дэвид А.; Фрадкин, Эдуардо (июль 2017 г.). «Вневременные корреляции в локализованных и тепловых фазах многих тел». Аннален дер Физик . 529 (7): 1600332. arXiv : 1610.00220 . дои : 10.1002/andp.201600332 . S2CID 119201477 .
^ Андерсон, PW (1958). «Отсутствие диффузии в некоторых случайных решетках». Физический обзор . 109 (5): 1492–1505. Бибкод : 1958PhRv..109.1492A . дои : 10.1103/PhysRev.109.1492 . ISSN 0031-899X .
^ Флейшман, Л.; Андерсон, PW (1980). «Взаимодействия и переход Андерсона». Физический обзор B . 21 (6): 2366–2377. дои : 10.1103/PhysRevB.21.2366 . ISSN 0163-1829 .
^ Альтшулер Борис Л.; Гефен, Юваль; Каменев, Алекс; Левитов, Леонид С. (1997). «Время жизни квазичастицы в конечной системе: непертурбативный подход». Письма о физических отзывах . 78 (14): 2803–2806. arXiv : cond-mat/9609132 . Бибкод : 1997PhRvL..78.2803A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2803 . ISSN 0031-9007 . S2CID 18852288 .
^ Горный, IV; Мирлин, А.Д.; Поляков, Д.Г. (2005). «Взаимодействующие электроны в неупорядоченных проводах: локализация Андерсона и транспорт с низким T». Письма о физических отзывах . 95 (20): 206603. arXiv : cond-mat/0506411 . doi : 10.1103/PhysRevLett.95.206603 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 16384079 . S2CID 39376817 .
^ Баско, Д.М.; Алейнер, Иллинойс; Альтшулер, Б.Л. (2006). «Переход металл-диэлектрик в слабовзаимодействующей многоэлектронной системе с локализованными одночастичными состояниями». Анналы физики . 321 (5): 1126–1205. arXiv : cond-mat/0506617 . Бибкод : 2006АнФиз.321.1126Б . дои : 10.1016/j.aop.2005.11.014 . ISSN 0003-4916 . S2CID 18345541 .
^ Оганесян Вадим; Хьюз, Дэвид А. (2007). «Локализация взаимодействующих фермионов при высокой температуре». Физический обзор B . 75 (15): 155111. arXiv : cond-mat/0610854 . дои : 10.1103/PhysRevB.75.155111 . ISSN 1098-0121 . S2CID 119488834 .
^ Пал, Ариджит; Хьюз, Дэвид А. (2010). «Фазовый переход многочастичной локализации». Физический обзор B . 82 (17): 174411. arXiv : 1010.1992 . дои : 10.1103/PhysRevB.82.174411 . ISSN 1098-0121 . S2CID 41528861 .
^ Сербин, Максим; Папич З.; Абанин Д.А. (2014). «Квантовые тушения в многочастичной локализованной фазе». Физический обзор B . 90 (17): 174302. doi : 10.1103/PhysRevB.90.174302 . hdl : 1721.1/91499 . ISSN 1098-0121 . S2CID 18658716 .
^ Имбри, Джон З. (2016). «О многочастичной локализации для квантовых спиновых цепей». Журнал статистической физики . 163 (5): 998–1048. arXiv : 1403.7837 . дои : 10.1007/s10955-016-1508-x . ISSN 0022-4715 . S2CID 11250762 .
^ Д'Алессио, Лука; Полковников, Анатолий (2013). «Переход локализации энергии многих тел в системах с периодическим приводом». Анналы физики . 333 : 19–33. arXiv : 1210.2791 . дои : 10.1016/j.aop.2013.02.011 . ISSN 0003-4916 . S2CID 118476386 .
^ Лазарид, Ахиллеас; Дас, Арнаб; Месснер, Родерих (2015). «Судьба локализации многих тел при периодическом вождении». Письма о физических отзывах . 115 (3): 030402. arXiv : 1410.3455 . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.030402 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 26230771 . S2CID 28538293 .
^ Понте, Педро; Папич З.; Ювенирс, Франсуа; Абанин, Дмитрий А. (2015). «Многочастичная локализация в периодически управляемых системах» (PDF) . Письма о физических отзывах . 114 (14): 140401. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.140401 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25910094 . S2CID 38608177 .
^ Сербин, Максим; Папич З.; Абанин, Дмитрий А. (2013). «Локальные законы сохранения и структура многочастичных локализованных состояний». Письма о физических отзывах . 111 (12): 127201. arXiv : 1305.5554 . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.127201 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 24093294 . S2CID 13006260 .
^ Хьюз, Дэвид А.; Нандкишор, Рахул; Оганесян, Вадим (2014). «Феноменология полностью локализованных во многих телах систем». Физический обзор B . 90 (17): 174202. arXiv : 1305.4915 . дои : 10.1103/PhysRevB.90.174202 . ISSN 1098-0121 . S2CID 5553355 .
^ Хьюз, Дэвид А.; Нандкишор, Рахул; Оганесян Вадим; Пал, Ариджит; Сонди, СЛ (2013). «Квантовый порядок, защищенный локализацией» . Физический обзор B . 88 (1): 014206. arXiv : 1304.1158 . Бибкод : 2013PhRvB..88a4206H . дои : 10.1103/PhysRevB.88.014206 . ISSN 1098-0121 .
^ Кхемани, Ведика; Лазарид, Ахиллеас; Месснер, Родерих; Сонди, СЛ (2016). «Фазовая структура управляемых квантовых систем» . Письма о физических отзывах . 116 (25): 250401. arXiv : 1508.03344 . Бибкод : 2016PhRvL.116y0401K . doi : 10.1103/PhysRevLett.116.250401 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 27391704 .
^ Еще, Доминик В.; Бауэр, Бела; Наяк, Четан (2016). «Кристаллы времени Флоке». Письма о физических отзывах . 117 (9): 090402. arXiv : 1603.08001 . Бибкод : 2016PhRvL.117i0402E . doi : 10.1103/PhysRevLett.117.090402 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 27610834 . S2CID 1652633 .
^ фон Кейзерлингк, CW; Кхемани, Ведика; Сондхи, СЛ (2016). «Абсолютная стабильность и пространственно-временной дальний порядок в системах Флоке» . Физический обзор B . 94 (8): 085112. arXiv : 1605.00639 . Бибкод : 2016PhRvB..94h5112V . doi : 10.1103/PhysRevB.94.085112 . ISSN 2469-9950 .
^ Чжан, Дж.; Хесс, П.В.; Киприанидис, А.; Беккер, П.; Ли, А.; Смит, Дж.; Пагано, Дж.; Потирниче, И.-Д.; Поттер, AC; Вишванат, А.; Яо, Нью-Йорк; Монро, К. (2017). «Наблюдение кристалла дискретного времени». Природа . 543 (7644): 217–220. arXiv : 1609.08684 . Бибкод : 2017Natur.543..217Z . дои : 10.1038/nature21413 . ISSN 0028-0836 . ПМИД 28277505 . S2CID 4450646 .
^ Чой, Сунвон; Чхве, Джунхи; Ландиг, Рената; Куско, Георг; Чжоу, Хэнъюнь; Исоя, Дзюнъити; Железко, Федор; Онода, Синобу; Сумия, Хитоши; Кхемани, Ведика; фон Кейзерлингк, Курт; Яо, Норман Ю.; Демлер, Юджин; Лукин, Михаил Дмитриевич (2017). «Наблюдение дискретного временного кристаллического порядка в неупорядоченной диполярной системе многих тел» . Природа . 543 (7644): 221–225. arXiv : 1610.08057 . Бибкод : 2017Natur.543..221C . дои : 10.1038/nature21426 . ISSN 0028-0836 . ПМЦ 5349499 . ПМИД 28277511 .
^ Кондов, С.С.; МакГихи, WR; Сюй, В.; ДеМарко, Б. (2015). «Вызванная беспорядками локализация в сильно коррелированном атомном газе Хаббарда» . Письма о физических отзывах . 114 (8): 083002. arXiv : 1305.6072 . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.083002 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25768762 .
^ Шрайбер, М.; Ходжман, СС; Бордия, П.; Люшен, HP; Фишер, Миннесота; Воск, Р.; Альтман, Э.; Шнайдер, У.; Блох, И. (2015). «Наблюдение многочастичной локализации взаимодействующих фермионов в квазислучайной оптической решетке». Наука . 349 (6250): 842–845. arXiv : 1501.05661 . дои : 10.1126/science.aaa7432 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 26229112 . S2CID 5112350 .
^ Чой, Ж.-й.; Хильд, С.; Зейхер, Дж.; Шаусс, П.; Рубио-Абадал, А.; Йефса, Т.; Хемани, В.; Хаус, Д.А.; Блох, И.; Гросс, К. (2016). «Исследование перехода локализации многих тел в двух измерениях». Наука . 352 (6293): 1547–1552. arXiv : 1604.04178 . Бибкод : 2016Sci...352.1547C . doi : 10.1126/science.aaf8834 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 27339981 . S2CID 35012132 .
^ Вэй, Кен Сюань; Раманатан, Чандрасекхар; Каппелларо, Паола (2018). «Исследование локализации в ядерных спиновых цепях» . Письма о физических отзывах . 120 (7): 070501. arXiv : 1612.05249 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070501 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 29542978 .
^ Смит, Дж.; Ли, А.; Ришерм, П.; Нейенхейс, Б.; Хесс, П.В.; Хауке, П.; Хейл, М.; Хаус, Д.А.; Монро, К. (2016). «Многочастичная локализация в квантовом симуляторе с программируемым случайным беспорядком». Физика природы . 12 (10): 907–911. arXiv : 1508.07026 . Бибкод : 2016NatPh..12..907S . дои : 10.1038/nphys3783 . ISSN 1745-2473 . S2CID 53408060 .

[NandkishoreHuse2015-1] Нандкишор, Рахул; Хьюз, Дэвид А. (2015). «Многочастичная локализация и термализация в квантовой статистической механике». Ежегодный обзор физики конденсированного состояния . 6 (1): 15–38. arXiv : 1404.0686 . Бибкод : 2015ARCMP...6...15N . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-031214-014726 . ISSN 1947-5454 . S2CID 118465889 .

[2] Сакурай Дж.Дж. 1985. Современная квантовая механика . Менло-Парк, Калифорния: Бенджамин/Каммингс

[3] Дойч, Дж. М. (26 июля 2010 г.). «Термодинамическая энтропия собственного состояния энергии многих тел». Новый журнал физики . 12 (7): 075021. arXiv : 0911.0056 . дои : 10.1088/1367-2630/12/7/075021 . S2CID 119180376 .

[4] Сантос, Леа Ф.; Полковников, Анатолий; Ригол, Маркос (5 июля 2012 г.). «Слабая и сильная типичность в квантовых системах» . Физический обзор E . 86 (1): 010102.arXiv : 1202.4764 . дои : 10.1103/PhysRevE.86.010102 . ПМИД 23005351 .

[5] Дойч, Дж. М.; Ли, Хайбин; Шарма, Аудтья (30 апреля 2013 г.). «Микроскопическое происхождение термодинамической энтропии в изолированных системах». Физический обзор E . 87 (4): 042135. arXiv : 1202.2403 . дои : 10.1103/PhysRevE.87.042135 . ПМИД 23679399 . S2CID 699412 .

[6] Гаррисон, Джеймс Р.; Гровер, Тарун (30 апреля 2018 г.). «Кодирует ли одно собственное состояние полный гамильтониан?» . Физический обзор X . 8 (2): 021026. arXiv : 1503.00729 . дои : 10.1103/PhysRevX.8.021026 .

[7] Дымарский, Анатолий; Лашкари, Нима; Лю, Хун (25 января 2018 г.). «Гипотеза термализации собственных состояний подсистемы». Физический обзор E . 97 (1): 012140. doi : 10.1103/PhysRevE.97.012140 . hdl : 1721.1/114450 . ПМИД 29448325 .

[8] Хуан, Ичэнь (январь 2019 г.). «Универсальная запутанность собственных состояний хаотических локальных гамильтонианов» . Ядерная физика Б . 938 : 594–604. arXiv : 1708.08607 . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.09.013 .

[9] Дойч, Дж. М. (1 февраля 1991 г.). «Квантовая статистическая механика в закрытой системе». Физический обзор А. 43 (4): 2046–2049. Бибкод : 1991PhRvA..43.2046D . дои : 10.1103/PhysRevA.43.2046 . ПМИД 9905246 . S2CID 40633146 .

[10] Средницкий, Марк (1 августа 1994 г.). «Хаос и квантовая термализация». Физический обзор E . 50 (2): 888–901. arXiv : cond-mat/9403051 . Бибкод : 1994PhRvE..50..888S . дои : 10.1103/PhysRevE.50.888 . ПМИД 9962049 . S2CID 16065583 .

[11] Ригол, Маркос; Дунько, Ваня; Ольшаний, Максим (апрель 2008 г.). «Термализация и ее механизм для общих изолированных квантовых систем». Природа . 452 (7189): 854–858. arXiv : 0708.1324 . Бибкод : 2008Natur.452..854R . дои : 10.1038/nature06838 . ПМИД 18421349 . S2CID 4384040 .

[NandkishoreGopalakrishnan2014-12] Нандкишор, Рахул; Гопалакришнан, Саранг; Хьюз, Дэвид А. (2014). «Спектральные особенности многочастичной системы, слабо связанной с ванной». Физический обзор B . 90 (6): 064203. arXiv : 1402.5971 . дои : 10.1103/PhysRevB.90.064203 . ISSN 1098-0121 . S2CID 118568500 .

[KimHuse2013-13] Ким, Хёнвон; Хьюз, Дэвид А. (2013). «Баллистическое распространение запутанности в диффузной неинтегрируемой системе». Письма о физических отзывах . 111 (12): 127205. arXiv : 1306.4306 . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.127205 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 24093298 . S2CID 41548576 .

[ŽnidaričProsen2008-14] Перейти обратно: ^а ^б Жнидарич, Марко; Просен, Томаж; Преловшек, Петр (25 февраля 2008 г.). «Многочастичная локализация в магните Гейзенберга XXZ в случайном поле». Физический обзор Б. 77 (6): 064426. arXiv : 0706.2539 . дои : 10.1103/PhysRevB.77.064426 . S2CID 119132600 .

[BardarsonPollmann2012-15] Бардарсон, Йенс Х.; Поллманн, Франк; Мур, Джоэл Э. (2012). «Неограниченный рост запутанности в моделях многочастичной локализации» . Письма о физических отзывах . 109 (1): 017202. arXiv : 1202.5532 . doi : 10.1103/PhysRevLett.109.017202 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23031128 .

[16] Хуан, Ичэнь (май 2017 г.). «Динамика запутанности в критической случайной квантовой цепочке Изинга с возмущениями» (PDF) . Анналы физики . 380 : 224–227. дои : 10.1016/j.aop.2017.02.018 . S2CID 44548875 .

[17] Хуан, Ичен; Чжан, Юн-Лян; Чен, Се (июль 2017 г.). «Вневременно упорядоченные корреляторы в локализованных системах многих тел» (PDF) . Аннален дер Физик . 529 (7): 1600318. doi : 10.1002/andp.201600318 . S2CID 42690831 .

[18] Фань, Жуйхуа; Чжан, Пэнфэй; Шен, Хуитао; Чжай, Хуэй (май 2017 г.). «Вневременная корреляция для локализации многих тел» . Научный вестник . 62 (10): 707–711. arXiv : 1608.01914 . дои : 10.1016/j.scib.2017.04.011 .

[19] Он, Ронг-Цян; Лу, Чжун-И (10 февраля 2017 г.). «Характеристика локализации многих тел с помощью вневременной корреляции». Физический обзор B . 95 (5): 054201. arXiv : 1608.03586 . doi : 10.1103/PhysRevB.95.054201 . S2CID 119268185 .

[20] Свингл, Брайан; Чоудхури, Дебанджан (21 февраля 2017 г.). «Медленное скремблирование в неупорядоченных квантовых системах». Физический обзор B . 95 (6): 060201. doi : 10.1103/PhysRevB.95.060201 . hdl : 1721.1/107244 . S2CID 53485500 .

[21] Чен, Сяо; Чжоу, Тяньчи; Хьюз, Дэвид А.; Фрадкин, Эдуардо (июль 2017 г.). «Вневременные корреляции в локализованных и тепловых фазах многих тел». Аннален дер Физик . 529 (7): 1600332. arXiv : 1610.00220 . дои : 10.1002/andp.201600332 . S2CID 119201477 .

[Anderson1958-22] Андерсон, PW (1958). «Отсутствие диффузии в некоторых случайных решетках». Физический обзор . 109 (5): 1492–1505. Бибкод : 1958PhRv..109.1492A . дои : 10.1103/PhysRev.109.1492 . ISSN 0031-899X .

[FleishmanAnderson1980-23] Флейшман, Л.; Андерсон, PW (1980). «Взаимодействия и переход Андерсона». Физический обзор B . 21 (6): 2366–2377. дои : 10.1103/PhysRevB.21.2366 . ISSN 0163-1829 .

[AltshulerGefen1997-24] Альтшулер Борис Л.; Гефен, Юваль; Каменев, Алекс; Левитов, Леонид С. (1997). «Время жизни квазичастицы в конечной системе: непертурбативный подход». Письма о физических отзывах . 78 (14): 2803–2806. arXiv : cond-mat/9609132 . Бибкод : 1997PhRvL..78.2803A . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2803 . ISSN 0031-9007 . S2CID 18852288 .

[GornyiMirlin2005-25] Горный, IV; Мирлин, А.Д.; Поляков, Д.Г. (2005). «Взаимодействующие электроны в неупорядоченных проводах: локализация Андерсона и транспорт с низким T». Письма о физических отзывах . 95 (20): 206603. arXiv : cond-mat/0506411 . doi : 10.1103/PhysRevLett.95.206603 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 16384079 . S2CID 39376817 .

[BaskoAleiner2006-26] Баско, Д.М.; Алейнер, Иллинойс; Альтшулер, Б.Л. (2006). «Переход металл-диэлектрик в слабовзаимодействующей многоэлектронной системе с локализованными одночастичными состояниями». Анналы физики . 321 (5): 1126–1205. arXiv : cond-mat/0506617 . Бибкод : 2006АнФиз.321.1126Б . дои : 10.1016/j.aop.2005.11.014 . ISSN 0003-4916 . S2CID 18345541 .

[OganesyanHuse2007-27] Оганесян Вадим; Хьюз, Дэвид А. (2007). «Локализация взаимодействующих фермионов при высокой температуре». Физический обзор B . 75 (15): 155111. arXiv : cond-mat/0610854 . дои : 10.1103/PhysRevB.75.155111 . ISSN 1098-0121 . S2CID 119488834 .

[PalHuse2010-28] Пал, Ариджит; Хьюз, Дэвид А. (2010). «Фазовый переход многочастичной локализации». Физический обзор B . 82 (17): 174411. arXiv : 1010.1992 . дои : 10.1103/PhysRevB.82.174411 . ISSN 1098-0121 . S2CID 41528861 .

[SerbynPapić2014-29] Сербин, Максим; Папич З.; Абанин Д.А. (2014). «Квантовые тушения в многочастичной локализованной фазе». Физический обзор B . 90 (17): 174302. doi : 10.1103/PhysRevB.90.174302 . hdl : 1721.1/91499 . ISSN 1098-0121 . S2CID 18658716 .

[Imbrie2016-30] Имбри, Джон З. (2016). «О многочастичной локализации для квантовых спиновых цепей». Журнал статистической физики . 163 (5): 998–1048. arXiv : 1403.7837 . дои : 10.1007/s10955-016-1508-x . ISSN 0022-4715 . S2CID 11250762 .

[D’AlessioPolkovnikov2013-31] Д'Алессио, Лука; Полковников, Анатолий (2013). «Переход локализации энергии многих тел в системах с периодическим приводом». Анналы физики . 333 : 19–33. arXiv : 1210.2791 . дои : 10.1016/j.aop.2013.02.011 . ISSN 0003-4916 . S2CID 118476386 .

[LazaridesDas2015-32] Лазарид, Ахиллеас; Дас, Арнаб; Месснер, Родерих (2015). «Судьба локализации многих тел при периодическом вождении». Письма о физических отзывах . 115 (3): 030402. arXiv : 1410.3455 . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.030402 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 26230771 . S2CID 28538293 .

[PontePapić2015-33] Понте, Педро; Папич З.; Ювенирс, Франсуа; Абанин, Дмитрий А. (2015). «Многочастичная локализация в периодически управляемых системах» (PDF) . Письма о физических отзывах . 114 (14): 140401. doi : 10.1103/PhysRevLett.114.140401 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25910094 . S2CID 38608177 .

[SerbynPapić2013-34] Сербин, Максим; Папич З.; Абанин, Дмитрий А. (2013). «Локальные законы сохранения и структура многочастичных локализованных состояний». Письма о физических отзывах . 111 (12): 127201. arXiv : 1305.5554 . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.127201 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 24093294 . S2CID 13006260 .

[HuseNandkishore2014-35] Хьюз, Дэвид А.; Нандкишор, Рахул; Оганесян, Вадим (2014). «Феноменология полностью локализованных во многих телах систем». Физический обзор B . 90 (17): 174202. arXiv : 1305.4915 . дои : 10.1103/PhysRevB.90.174202 . ISSN 1098-0121 . S2CID 5553355 .

[HuseNandkishore2013-36] Хьюз, Дэвид А.; Нандкишор, Рахул; Оганесян Вадим; Пал, Ариджит; Сонди, СЛ (2013). «Квантовый порядок, защищенный локализацией» . Физический обзор B . 88 (1): 014206. arXiv : 1304.1158 . Бибкод : 2013PhRvB..88a4206H . дои : 10.1103/PhysRevB.88.014206 . ISSN 1098-0121 .

[KhemaniLazarides2016-37] Кхемани, Ведика; Лазарид, Ахиллеас; Месснер, Родерих; Сонди, СЛ (2016). «Фазовая структура управляемых квантовых систем» . Письма о физических отзывах . 116 (25): 250401. arXiv : 1508.03344 . Бибкод : 2016PhRvL.116y0401K . doi : 10.1103/PhysRevLett.116.250401 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 27391704 .

[ElseBauer2016-38] Еще, Доминик В.; Бауэр, Бела; Наяк, Четан (2016). «Кристаллы времени Флоке». Письма о физических отзывах . 117 (9): 090402. arXiv : 1603.08001 . Бибкод : 2016PhRvL.117i0402E . doi : 10.1103/PhysRevLett.117.090402 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 27610834 . S2CID 1652633 .

[von_KeyserlingkKhemani2016-39] фон Кейзерлингк, CW; Кхемани, Ведика; Сондхи, СЛ (2016). «Абсолютная стабильность и пространственно-временной дальний порядок в системах Флоке» . Физический обзор B . 94 (8): 085112. arXiv : 1605.00639 . Бибкод : 2016PhRvB..94h5112V . doi : 10.1103/PhysRevB.94.085112 . ISSN 2469-9950 .

[ZhangHess2017-40] Чжан, Дж.; Хесс, П.В.; Киприанидис, А.; Беккер, П.; Ли, А.; Смит, Дж.; Пагано, Дж.; Потирниче, И.-Д.; Поттер, AC; Вишванат, А.; Яо, Нью-Йорк; Монро, К. (2017). «Наблюдение кристалла дискретного времени». Природа . 543 (7644): 217–220. arXiv : 1609.08684 . Бибкод : 2017Natur.543..217Z . дои : 10.1038/nature21413 . ISSN 0028-0836 . ПМИД 28277505 . S2CID 4450646 .

[ChoiChoi2017-41] Чой, Сунвон; Чхве, Джунхи; Ландиг, Рената; Куско, Георг; Чжоу, Хэнъюнь; Исоя, Дзюнъити; Железко, Федор; Онода, Синобу; Сумия, Хитоши; Кхемани, Ведика; фон Кейзерлингк, Курт; Яо, Норман Ю.; Демлер, Юджин; Лукин, Михаил Дмитриевич (2017). «Наблюдение дискретного временного кристаллического порядка в неупорядоченной диполярной системе многих тел» . Природа . 543 (7644): 221–225. arXiv : 1610.08057 . Бибкод : 2017Natur.543..221C . дои : 10.1038/nature21426 . ISSN 0028-0836 . ПМЦ 5349499 . ПМИД 28277511 .

[KondovMcGehee2015-42] Кондов, С.С.; МакГихи, WR; Сюй, В.; ДеМарко, Б. (2015). «Вызванная беспорядками локализация в сильно коррелированном атомном газе Хаббарда» . Письма о физических отзывах . 114 (8): 083002. arXiv : 1305.6072 . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.083002 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 25768762 .

[SchreiberHodgman2015-43] Шрайбер, М.; Ходжман, СС; Бордия, П.; Люшен, HP; Фишер, Миннесота; Воск, Р.; Альтман, Э.; Шнайдер, У.; Блох, И. (2015). «Наблюдение многочастичной локализации взаимодействующих фермионов в квазислучайной оптической решетке». Наука . 349 (6250): 842–845. arXiv : 1501.05661 . дои : 10.1126/science.aaa7432 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 26229112 . S2CID 5112350 .

[ChoiHild2016-44] Чой, Ж.-й.; Хильд, С.; Зейхер, Дж.; Шаусс, П.; Рубио-Абадал, А.; Йефса, Т.; Хемани, В.; Хаус, Д.А.; Блох, И.; Гросс, К. (2016). «Исследование перехода локализации многих тел в двух измерениях». Наука . 352 (6293): 1547–1552. arXiv : 1604.04178 . Бибкод : 2016Sci...352.1547C . doi : 10.1126/science.aaf8834 . ISSN 0036-8075 . ПМИД 27339981 . S2CID 35012132 .

[WeiRamanathan2018-45] Вэй, Кен Сюань; Раманатан, Чандрасекхар; Каппелларо, Паола (2018). «Исследование локализации в ядерных спиновых цепях» . Письма о физических отзывах . 120 (7): 070501. arXiv : 1612.05249 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0501W . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070501 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 29542978 .

[SmithLee2016-46] Смит, Дж.; Ли, А.; Ришерм, П.; Нейенхейс, Б.; Хесс, П.В.; Хауке, П.; Хейл, М.; Хаус, Д.А.; Монро, К. (2016). «Многочастичная локализация в квантовом симуляторе с программируемым случайным беспорядком». Физика природы . 12 (10): 907–911. arXiv : 1508.07026 . Бибкод : 2016NatPh..12..907S . дои : 10.1038/nphys3783 . ISSN 1745-2473 . S2CID 53408060 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]