Квантовый порядок, защищенный локализацией

Локализация многих тел (МБЛ) — динамическое явление, приводящее к нарушению равновесной статистической механики в изолированных системах многих тел. Такие системы никогда не достигают локального теплового равновесия и сохраняют локальную память о своих начальных условиях бесконечное время. В этих неравновесных системах еще можно определить понятие фазовой структуры. Поразительно, но MBL может даже создавать новые виды экзотических порядков, которые запрещены в условиях теплового равновесия – явление, которое носит название квантового порядка с защитой локализации (LPQO) или порядка собственных состояний.

Фон

Изучение фаз материи и переходов между ними было центральным направлением физики уже более века. Одна из самых ранних парадигм объяснения фазовой структуры, больше всего связанная с Ландау, классифицирует фазы в соответствии со спонтанным нарушением глобальной симметрии, присутствующей в физической системе. Совсем недавно мы также добились больших успехов в понимании топологических фаз материи, которые лежат вне рамок Ландау: порядок в топологических фазах не может быть охарактеризован локальными закономерностями нарушения симметрии, а вместо этого закодирован в глобальных закономерностях квантовой запутанности .

Весь этот замечательный прогресс покоится на фундаменте равновесной статистической механики. Фазы и фазовые переходы четко определены только для макроскопических систем в термодинамическом пределе, и статистическая механика позволяет нам делать полезные предсказания о таких макроскопических системах со многими (~ 10 ²³ ) составляющие частицы. Фундаментальное предположение статистической механики состоит в том, что системы обычно достигают состояния теплового равновесия (например, состояния Гиббса), которое можно охарактеризовать лишь несколькими параметрами, такими как температура или химический потенциал. Традиционно фазовую структуру изучают путем изучения поведения «параметров порядка» в состояниях равновесия. При нулевой температуре они оцениваются в основном состоянии системы, и разные фазы соответствуют разным квантовым порядкам (топологическим или иным). равновесие сильно ограничивает разрешенные порядки при конечных температурах. В общем, тепловые флуктуации при конечных температурах уменьшают дальнодействующие квантовые корреляции, присутствующие в упорядоченных фазах, а в более низких измерениях могут полностью разрушить порядок . теоремы доказывают, что одномерная система не может спонтанно нарушить непрерывную симметрию при любой ненулевой температуре.

Недавний прогресс в изучении явления локализации многих тел выявил классы типичных (обычно неупорядоченных) систем многих тел, которые никогда не достигают локального теплового равновесия и, таким образом, лежат вне рамок равновесной статистической механики. Системы MBL могут подвергаться динамическому фазовому переходу в фазу термализации при настройке таких параметров, как беспорядок или сила взаимодействия, а природа фазового перехода MBL в термическую фазу является активной областью исследований. Существование MBL поднимает интересный вопрос о том, могут ли существовать разные типы фаз MBL, точно так же, как существуют разные типы термализующихся фаз. Примечательно, что ответ утвердительный, и неравновесные системы также могут демонстрировать богатую фазовую структуру. Более того, подавление тепловых флуктуаций в локализованных системах может даже позволить создать новые виды порядка, запрещенные в равновесии, что и составляет суть квантового порядка, защищенного локализацией. Недавнее открытие кристаллов времени в периодически управляемых системах MBL является ярким примером этого явления.

Фазы выхода из равновесия: порядок собственных состояний

Изучение фазовой структуры в локализованных системах требует от нас сначала сформулировать четкое представление о фазе, находящейся вдали от теплового равновесия. Это делается с помощью понятия порядка собственных состояний : можно измерять параметры порядка и корреляционные функции в отдельных собственных энергетических состояниях системы многих тел вместо усреднения по нескольким собственным состояниям, как в состоянии Гиббса. Ключевым моментом является то, что отдельные собственные состояния могут демонстрировать закономерности порядка, которые могут быть невидимы для термодинамических средних значений по собственным состояниям. Действительно, термодинамическое среднее по ансамблю даже неприемлемо в системах MBL, поскольку они никогда не достигают теплового равновесия. Более того, хотя отдельные собственные состояния сами по себе не доступны экспериментально, порядок в собственных состояниях, тем не менее, имеет измеримые динамические характеристики. Свойства собственного спектра изменяются особым образом при переходе системы от одного типа фазы MBL к другому или от фазы MBL к тепловой — опять же с измеримыми динамическими характеристиками.

При рассмотрении порядка собственных состояний в системах MBL обычно говорят о сильно возбужденных собственных состояниях при плотностях энергии, которые соответствовали бы высоким или бесконечным температурам, если бы система была способна термализоваться. В термализующей системе температура определяется через $T=\left({\frac {dS}{dE}}\right)^{-1}$ где энтропия $S$ максимизируется вблизи середины спектра многих тел (что соответствует $T=\infty$) и исчезает вблизи краев спектра (что соответствует $T=0^{\pm }$). Таким образом, «собственные состояния бесконечной температуры» — это те, которые взяты примерно из середины спектра, и правильнее относиться к плотности энергии, а не к температуре, поскольку температура определяется только в равновесии. В системах MBL подавление тепловых флуктуаций означает, что свойства высоковозбужденных собственных состояний во многом аналогичны свойствам основных состояний локальных гамильтонианов с щелями. Это позволяет довести различные формы порядка основного состояния до конечных плотностей энергии.

Отметим, что в термализованных системах МБ понятие порядка собственных состояний соответствует обычному определению фаз. Это связано с тем, что гипотеза термализации собственных состояний (ETH) подразумевает, что локальные наблюдаемые (такие как параметры порядка), вычисленные в отдельных собственных состояниях, согласуются с вычисленными в состоянии Гиббса при температуре, соответствующей плотности энергии собственного состояния. С другой стороны, системы MBL не подчиняются ETH, и близлежащие собственные состояния многих тел имеют очень разные локальные свойства. Именно это позволяет отдельным собственным состояниям MBL отображать порядок, даже если термодинамическим средним это запрещено.

Порядок нарушения симметрии, защищенный локализацией

Локализация позволяет нарушать порядок симметрии при конечных плотностях энергии, что запрещено в равновесии теоремами Пайерлса-Мермина-Вагнера.

Проиллюстрируем это на конкретном примере неупорядоченной цепочки Изинга поперечного поля в одном измерении:

$H=\sum _{i=1}^{L}J_{i}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}+h_{i}\sigma _{i}^{x}+J_{\rm {int}}(\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+2}^{z}+\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z})$

где $\sigma _{i}^{x/y/z}$ являются операторами Паули со спином 1/2 в цепочке длины $L$, все муфты $\{J_{i},h_{i}\}$ являются положительными случайными числами, полученными из распределений со средними значениями ${\overline {J}},{\overline {h}}$, и система обладает симметрией Изинга $P=\prod _{i}\sigma _{i}^{x}$ соответствующий перевороту всех спинов в $z$ основе. $J_{\rm {int}}$ член вводит взаимодействия, и система может отображаться в модель свободных фермионов (цепочка Китаева), когда $J_{\rm {int}}=0$.

Невзаимодействующая цепь Изинга – нет беспорядка

Рис. 1. Фазы цепи Изинга (а) без взаимодействий и беспорядка, (б) с беспорядком, но без взаимодействий и (в) с беспорядком и взаимодействиями.

Давайте сначала рассмотрим чистую невзаимодействующую систему: $J_{i}=J,\;h_{i}=h,\;J_{\rm {int}}=0$. В равновесии основное состояние ферромагнитно упорядочено со спинами, ориентированными вдоль $z$ ось для $J>h$, но является парамагнетиком для $J<h$ и при любой конечной температуре (рис. 1а). Глубоко в упорядоченной фазе система имеет два вырожденных симметричных основных состояния Изинга, которые выглядят как «кот Шредингера» или состояния суперпозиции: $|\psi _{0}^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \rangle \pm |\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \rangle )$. Они отображают дальний порядок:

$\lim _{|i-j|\rightarrow \infty }\lim _{L\rightarrow \infty }\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}\sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle -\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle \langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle >0.$

При любой конечной температуре тепловые флуктуации приводят к конечной плотности делокализованных доменных границ, поскольку энтропийный выигрыш от создания этих доменных стенок превосходит затраты энергии в одном измерении. Эти флуктуации разрушают дальний порядок, поскольку наличие флуктуирующих доменных стенок разрушает корреляцию между далекими спинами.

Неупорядоченная невзаимодействующая цепь Изинга

При включении беспорядка возбуждения в невзаимодействующей модели ( $J_{\rm {int}}=0$) локализовать благодаря локализации Андерсона . Другими словами, доменные границы закрепляются из-за беспорядка, так что общее высоковозбужденное собственное состояние для ${\overline {J}}\gg {\overline {h}}$ похоже $|\psi _{\rm {SG}}^{n,\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle \pm |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle$, где $n$ относится к $n^{\text{th}}$ собственное состояние, а шаблон зависит от собственного состояния. Обратите внимание, что спин-спиновая корреляционная функция, рассчитанная в этом состоянии, отлична от нуля для произвольно удаленных спинов, но имеет колеблющийся знак в зависимости от того, пересекается ли четное/нечетное количество доменных стенок между двумя узлами. Поэтому мы говорим, что система имеет дальний спин- стекльный (СГ) порядок. Действительно, для ${\overline {J}}>{\overline {h}}$, локализация способствует преобразованию ферромагнитного порядка основного состояния в порядок спинового стекла в высоковозбужденных состояниях при всех плотностях энергии (рис. 1б). Если усреднять по собственным состояниям, как в тепловом состоянии Гиббса, флуктуации знаков приводят к усреднению корреляции, как того требует теорема Пайерлса, запрещающая нарушение симметрии дискретных симметрий при конечных температурах в 1D. Для ${\overline {J}}<{\overline {h}}$, система является парамагнитной (ПМ), а собственные состояния в глубине ПМ выглядят как состояния-продукты в $x$ базисе и не отображать дальний порядок Изинга: $|\psi _{\rm {PM}}^{n}\rangle =|\rightarrow \rightarrow \leftarrow \leftarrow \leftarrow \rightarrow \cdots \rangle$. Переход между локализованным ПМ и локализованным СГ при ${\overline {J}}={\overline {h}}$ принадлежит к классу универсальности бесконечной случайности.

Неупорядоченная взаимодействующая цепь Изинга

При включении слабых взаимодействий $J_{\rm {int}}\neq 0$, изолятор Андерсона остается локализованным во многих телах, и порядок сохраняется глубоко в фазах PM/SG. Достаточно сильные взаимодействия разрушают МБЛ и система переходит в фазу термализации. Судьба перехода MBL PM в MBL SG при наличии взаимодействий в настоящее время не выяснена, и вполне вероятно, что этот переход происходит через промежуточную тепловую фазу (рис. 1c).

Обнаружение порядка собственных состояний – измеримые сигнатуры

Хотя приведенное выше обсуждение относится к точной диагностике LPQO, полученной путем оценки параметров порядка и корреляционных функций в отдельных сильно возбужденных собственных состояниях многих тел, такие величины практически невозможно измерить экспериментально. Тем не менее, хотя отдельные собственные состояния сами по себе недоступны экспериментально, порядок в собственных состояниях имеет измеримые динамические характеристики. Другими словами, измерение локальной физически доступной наблюдаемой во времени, начиная с физически подготавливаемого начального состояния, по-прежнему содержит четкие признаки порядка собственных состояний.

Например, для обсуждавшейся выше неупорядоченной цепочки Изинга можно подготовить случайные начальные состояния с нарушенной симметрией, которые являются состояниями-продуктами в $z$основа: $|\psi _{0}\rangle =|\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \downarrow \rangle$. Эти случайно выбранные состояния находятся при бесконечной температуре. Затем можно измерить локальную намагниченность $\langle \sigma _{i}^{z}\rangle$во времени, которое действует как параметр порядка при нарушении симметрии. Несложно показать, что $\langle \psi _{0}(t)|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}(t)\rangle$насыщается до ненулевого значения даже на бесконечно поздних временах в фазе спинового стекла с нарушенной симметрией, в то время как в парамагнетике он распадается до нуля. Особенность свойств собственного спектра при переходе между локализованными фазами SG и PM приводит к резкому динамическому фазовому переходу, который поддается измерению. Действительно, хорошим примером этого являются недавние эксперименты. обнаружение временных кристаллов в системах Floquet MBL, где фаза временного кристалла спонтанно нарушает как симметрию временного перевода, так и пространственную симметрию Изинга, демонстрируя коррелированный пространственно-временной порядок собственных состояний.

Топологический порядок, защищенный от локализации

Как и в случае нарушения порядка симметрии, тепловые флуктуации при конечных температурах могут уменьшить или разрушить квантовые корреляции, необходимые для топологического порядка. Опять же, локализация может обеспечить такие порядки в режимах, запрещенных равновесием. Это происходит как для так называемых длиннодействующих запутанных топологических фаз, так и для защищенных симметрией или короткодействующих запутанных топологических фаз. Торический код / $Z_{2}$ Калибровочная теория в 2D является примером первого, и топологический порядок на этом этапе может быть диагностирован с помощью операторов петли Вильсона . Топологический порядок разрушается в равновесии при любой конечной температуре из-за флуктуирующих вихрей, однако они могут быть локализованы из-за беспорядка, что обеспечивает стеклянный топологический порядок, защищенный локализацией, при конечных плотностях энергии. С другой стороны, топологические фазы с защищенной симметрией (SPT) действительно имеют объемный дальний порядок и отличаются от тривиальных парамагнетиков из-за присутствия когерентных бесщелевых краевых мод, пока присутствует защитная симметрия. В равновесии эти краевые моды обычно разрушаются при конечных температурах, поскольку они декогерируют из-за взаимодействия с делокализованными объемными возбуждениями. Опять же, локализация защищает когерентность этих мод даже при конечных плотностях энергии! Наличие топологического порядка, защищенного локализацией, потенциально может иметь далеко идущие последствия для разработки новых квантовых технологий, допуская квантовые когерентные явления при высоких энергиях.

Системы Флоке

Было показано, что системы с периодическим приводом или системы Флоке также могут быть многочастичными при подходящих условиях привода. Это примечательно, поскольку обычно ожидается, что управляемая система многих тел просто нагреется до тривиального состояния с бесконечной температурой (состояние максимальной энтропии без сохранения энергии). Однако с помощью MBL этого нагрева можно избежать и снова получить нетривиальные квантовые порядки в собственных состояниях унитарного уравнения Флоке, которое является оператором эволюции во времени за один период. Наиболее ярким примером этого является кристалл времени, фаза с дальним пространственно-временным порядком и спонтанным нарушением симметрии перевода времени. Эта фаза недопустима при тепловом равновесии, но может быть реализована в установке Floquet MBL.