Топологический порядок

В физике топологический порядок ^[1]— это своего рода порядок в фазе материи с нулевой температурой (также известной как квантовая материя). Макроскопически топологический порядок определяется и описывается устойчивым вырождением основного состояния. ^[2] и квантованные неабелевы геометрические фазы вырожденных основных состояний. ^[1] С микроскопической точки зрения топологические порядки соответствуют закономерностям дальнодействующей квантовой запутанности . ^[3] Состояния с разными топологическими порядками (или разными паттернами дальнего запутывания) не могут переходить друг в друга без фазового перехода.

Различные топологически упорядоченные состояния обладают интересными свойствами, такими как (1) топологическое вырождение и дробная статистика или статистика неабелевой группы , которые можно использовать для реализации топологического квантового компьютера ; (2) идеальные краевые состояния проводимости, которые могут иметь важные применения в устройствах; (3) возникающее калибровочное поле и статистика Ферми, которые предполагают квантово-информационное происхождение элементарных частиц ; ^[4] (4) топологическая энтропия запутанности , которая раскрывает природу запутанности топологического порядка и т. д. Топологический порядок важен при изучении нескольких физических систем, таких как спиновые жидкости , ^[5]^[6]^[7]^[8] и квантовый эффект Холла , ^[9]^[10] наряду с потенциальными приложениями для отказоустойчивых квантовых вычислений . ^[11]

Топологические изоляторы ^[12] и топологические сверхпроводники (за пределами 1D) не имеют топологического порядка, как определено выше, их запутывания являются лишь короткодействующими, но являются примерами топологического порядка, защищенного симметрией .

Предыстория [ править ]

Материя, состоящая из атомов, может иметь разные свойства и проявляться в разных формах, например, твердой , жидкой , сверхтекучей и т. д. Эти различные формы материи часто называют состояниями материи или фазами . Согласно физике конденсированного состояния и принципу эмерджентности , различные свойства материалов обычно возникают из-за разных способов организации атомов в материалах. Эти различные организации атомов (или других частиц) формально называются порядками в материалах. ^[13]

Атомы могут организовываться разными способами, что приводит к образованию множества различных порядков и множества различных типов материалов. Ландау Теория нарушения симметрии дает общее понимание этих различных порядков. Он указывает на то, что разные порядки действительно соответствуют разным симметриям в организации составляющих атомов. Когда материал переходит из одного порядка в другой (т. е. когда материал претерпевает фазовый переход ), происходит изменение симметрии организации атомов.

Например, атомы в жидкости имеют случайное распределение , поэтому жидкость остается такой же, как мы смещаем атомы на произвольное расстояние. Мы говорим, что жидкость обладает непрерывной трансляционной симметрией . После фазового перехода жидкость может превратиться в кристалл . В кристалле атомы образуют регулярный массив ( решетку ). Решетка остается неизменной только тогда, когда мы смещаем ее на определенное расстояние (целое число, умноженное на постоянную решетки ), поэтому кристалл имеет только дискретную трансляционную симметрию . Фазовый переход между жидкостью и кристаллом — это переход, сводящий непрерывную трансляционную симметрию жидкости к дискретной симметрии кристалла. Такое изменение симметрии называется нарушением симметрии . Таким образом, суть различия между жидкостями и кристаллами состоит в том, что организации атомов в двух фазах имеют разную симметрию.

Ландау Теория нарушения симметрии оказалась очень успешной теорией. Долгое время физики считали, что теория Ландау описывает все возможные порядки в материалах и все возможные (непрерывные) фазовые переходы.

и характеристика Открытие

Однако с конца 1980-х годов постепенно стало очевидно, что теория нарушения симметрии Ландау не может описать все возможные порядки. В попытке объяснить высокотемпературную сверхпроводимость ^[14] спиновое было введено киральное состояние. ^[5]^[6]Поначалу физики все еще хотели использовать теорию нарушения симметрии Ландау для описания кирального спинового состояния. Они определили киральное спиновое состояние как состояние, которое нарушает симметрию обращения времени и четности, но не симметрию вращения спина. Согласно описанию порядков, нарушающему симметрию Ландау, на этом история должна закончиться. Однако быстро стало понятно, что существует множество различных киральных спиновых состояний, которые имеют совершенно одинаковую симметрию, поэтому одной симметрии недостаточно, чтобы охарактеризовать различные киральные спиновые состояния. Это означает, что киральные спиновые состояния содержат новый вид порядка, выходящий за рамки обычного описания симметрии. ^[15] Предложенный новый вид порядка получил название «топологический порядок». ^[1] Название «топологический порядок» мотивировано низкоэнергетической эффективной теорией киральных спиновых состояний, которая представляет собой топологическую квантовую теорию поля (TQFT). ^[16]^[17]^[18] Новые квантовые числа, такие как вырождение основного состояния. ^[15] (который может быть определен в замкнутом пространстве или открытом пространстве с разрывами на границах, включая оба абелевых топологических порядка) ^[19] ^[20] и неабелевы топологические порядки ^[21]^[22]) и неабелева геометрическая фаза вырожденных основных состояний, ^[1]были введены для характеристики и определения различных топологических порядков в киральных спиновых состояниях. Совсем недавно было показано, что топологические порядки также можно охарактеризовать топологической энтропией . ^[23]^[24]

Но эксперименты ^{[ который? ]} скоро указано ^{[ как? ]}что киральные спиновые состояния не описывают высокотемпературные сверхпроводники, а теория топологического порядка стала теорией, не имеющей экспериментальной реализации. Однако сходство между киральными спиновыми состояниями и квантовыми состояниями Холла позволяет использовать теорию топологического порядка для описания различных квантовых состояний Холла. ^[2]Как и киральные спиновые состояния, различные квантовые состояния Холла имеют одинаковую симметрию и находятся за пределами описания нарушения симметрии Ландау. Оказывается, что разные порядки в разных квантовых состояниях Холла действительно могут быть описаны топологическими порядками, поэтому топологический порядок действительно имеет экспериментальную реализацию.

Дробное квантовое состояние Холла (FQH) было открыто в 1982 году. ^[9]^[10]до введения концепции топологического порядка в 1989 году. Но состояние FQH не является первым экспериментально обнаруженным топологически упорядоченным состоянием. Сверхпроводник , открытый в 1911 году, является первым экспериментально обнаруженным топологически упорядоченным состоянием; он имеет Z _{2 .} топологический порядок ^{[примечания 1]}

Хотя топологически упорядоченные состояния обычно возникают в сильно взаимодействующих системах бозон/фермион, простой вид топологического порядка может возникнуть и в системах свободных фермионов. Такого рода топологический порядок соответствует целочисленному квантовому состоянию Холла, которое можно охарактеризовать числом Черна заполненной энергетической зоны, если рассматривать целочисленное квантовое состояние Холла на решетке. Теоретические расчеты показали, что такие числа Черна могут быть измерены экспериментально для свободной фермионной системы. ^[28]^[29] Также хорошо известно, что такое число Чженя можно измерить (возможно, косвенно) по краевым состояниям.

Наиболее важной характеристикой топологических порядков будут лежащие в их основе фракционированные возбуждения (такие как ) и их статистика слияния и статистика сплетения (которая может выходить за рамки квантовой статистики бозонов анионы или фермионов ). Текущие исследовательские работы показывают, что возбуждения, подобные петле и струне, существуют для топологических порядков в 3+1-мерном пространстве-времени, а их статистика многопетлевого/струнного переплетения является решающим признаком для идентификации 3+1-мерных топологических порядков. ^[30] ^[31] ^[32] Статистика многопетлевого/струнного переплетения 3+1-мерных топологических порядков может быть зафиксирована с помощью инвариантов связи конкретной топологической квантовой теории поля в 4 измерениях пространства-времени. ^[32]

Механизм [ править ]

Большой класс топологических порядков 2+1D реализуется посредством механизма, называемого конденсацией струн-сетей . ^[33]Этот класс топологических порядков может иметь края с разрывом и классифицируется теорией унитарной категории слияния (или моноидальной категории ). Оказывается, что конденсация струн-сетей может порождать бесконечное множество различных типов топологических порядков, что может указывать на то, что еще предстоит открыть множество различных новых типов материалов.

Коллективные движения конденсированных струн вызывают возбуждения над конденсированными состояниями струнной сети. Эти возбуждения оказываются калибровочными бозонами . Концы струн представляют собой дефекты, соответствующие другому типу возбуждений. Эти возбуждения являются калибровочными зарядами и могут нести фермиевскую или дробную статистику . ^[34]

Сгущения других протяженных объектов, таких как « мембраны », ^[35] «бранные сети», ^[36] и фракталы также приводят к топологически упорядоченным фазам ^[37] и «квантовая стекловидность». ^[38]^[39]

Математическая формулировка

Мы знаем, что теория групп является математической основой порядков, нарушающих симметрию. Какова математическая основа топологического порядка? Было обнаружено, что подкласс топологических порядков 2+1D — абелевы топологические порядки — можно классифицировать с помощью подхода K-матрицы. ^[40]^[41]^[42]^[43]Конденсация струн-сетей предполагает, что тензорная категория (например, категория слияния или моноидальная категория ) является частью математической основы топологического порядка в 2+1D. Более поздние исследования показывают, что (вплоть до обратимых топологических порядков, не имеющих дробных возбуждений):

2+1D бозонные топологические порядки классифицируются по унитарным модульным тензорным категориям.
2+1D бозонные топологические порядки с симметрией G классифицируются G-скрещенными тензорными категориями.
2+1D бозонные/фермионные топологические порядки с симметрией G классифицируются по унитарным плетеным категориям слияния над симметричной категорией слияния, которая имеет модульные расширения. Категория симметричного синтеза Rep(G) для бозонных систем и sRep(G) для фермионных систем.

Топологический порядок в более высоких измерениях может быть связан с теорией n-категорий. квантовых Алгебра операторов — очень важный математический инструмент при изучении топологических порядков.

Некоторые также предполагают, что топологический порядок математически описывается расширенной квантовой симметрией . ^[44]

Приложения [ править ]

Материалы, описанные теорией нарушения симметрии Ландау, оказали существенное влияние на технологию. Например, ферромагнитные материалы, нарушающие симметрию вращения спина , могут использоваться в качестве носителей хранения цифровой информации. Жесткий диск из ферромагнитных материалов может хранить гигабайты информации. Жидкие кристаллы , нарушающие вращательную симметрию молекул, находят широкое применение в технологии дисплеев. Кристаллы, нарушающие трансляционную симметрию, приводят к образованию четко определенных электронных зон , что, в свою очередь, позволяет нам создавать полупроводниковые устройства, такие как транзисторы . Различные типы топологических порядков даже богаче, чем различные типы порядков, нарушающих симметрию. Это предполагает их потенциал для интересных, новых приложений.

Одним из теоретических применений может быть использование топологически упорядоченных состояний в качестве среды для квантовых вычислений в методе, известном как топологические квантовые вычисления . Топологически упорядоченное состояние — это состояние со сложной нелокальной квантовой запутанностью . Нелокальность означает, что квантовая запутанность в топологически упорядоченном состоянии распределяется среди множества различных частиц. В результате структура квантовых запутанностей не может быть разрушена локальными возмущениями. Это существенно снижает эффект декогеренции . Это говорит о том, что если мы будем использовать различные квантовые запутанности в топологически упорядоченном состоянии для кодирования квантовой информации, информация может храниться гораздо дольше. ^[45]Квантовой информацией, закодированной топологическими квантовыми запутанностями, также можно манипулировать, перетаскивая топологические дефекты друг вокруг друга. Этот процесс может обеспечить физическое устройство для выполнения квантовых вычислений . ^[46]Следовательно, топологически упорядоченные состояния могут обеспечивать естественную среду как для квантовой памяти , так и для квантовых вычислений. Такие реализации квантовой памяти и квантовых вычислений потенциально могут быть сделаны отказоустойчивыми . ^[11]

Топологически упорядоченные состояния вообще обладают особым свойством: они содержат нетривиальные граничные состояния. Во многих случаях эти граничные состояния становятся идеальным проводящим каналом, который может проводить электричество, не выделяя тепла. ^[47] Это может быть еще одним потенциальным применением топологического порядка в электронных устройствах.

Подобно топологическому порядку, топологические изоляторы ^[48]^[49]также имеют бесщелевые граничные состояния. Граничные состояния топологических изоляторов играют ключевую роль в обнаружении и применении топологических изоляторов. Это наблюдение естественным образом приводит к вопросу: являются ли топологические изоляторы примерами топологически упорядоченных состояний? Фактически топологические изоляторы отличаются от топологически упорядоченных состояний, определенных в этой статье. Топологические изоляторы имеют только короткодействующую запутанность и не имеют топологического порядка, тогда как топологический порядок, определенный в этой статье, представляет собой образец дальнодействующей запутанности. Топологический порядок устойчив к любым возмущениям. Он имеет возникающую калибровочную теорию, возникающий дробный заряд и дробную статистику. Напротив, топологические изоляторы устойчивы только к возмущениям, которые соблюдают симметрию обращения времени и U (1). Их квазичастичные возбуждения не имеют дробного заряда и дробной статистики. Строго говоря, топологический изолятор является примером топологического порядка, защищенного симметрией (SPT). , ^[50] где первым примером порядка SPT является фаза Холдейна цепочки со спином 1. ^[51]^[52]^[53]^[54] Но фаза Холдейна цепочки со спином 2 не имеет SPT-порядка.

Потенциальное воздействие [ править ]

Ландау Теория нарушения симметрии является краеугольным камнем физики конденсированного состояния . Используется для определения территории исследования конденсированных сред. Существование топологического порядка, по-видимому, указывает на то, что природа намного богаче, чем нарушения симметрии до сих пор указывала теория Ландау. Таким образом, топологический порядок открывает новое направление в физике конденсированного состояния — новое направление сильно запутанной квантовой материи. Мы понимаем, что квантовые фазы материи (т.е. фазы материи с нулевой температурой) можно разделить на два класса: дальнодействующие запутанные состояния и Запутанные состояния ближнего радиуса действия. ^[3]Топологический порядок — это понятие, которое описывает запутанные состояния на большом расстоянии: топологический порядок = образец запутывания на дальних дистанциях. Запутанные состояния ближнего действия тривиальны в том смысле, что все они принадлежат одной фазе. Однако при наличии симметрии даже короткодействующие запутанные состояния нетривиальны и могут принадлежать разным фазам. Говорят, что эти фазы содержат порядок SPT . ^[50]Порядок SPT обобщает понятие топологического изолятора взаимодействующих систем.

Некоторые предполагают, что топологический порядок (или, точнее, конденсация струнных сетей ) в локальных бозонных (спиновых) моделях потенциально может обеспечить единое происхождение фотонов , электронов и других элементарных частиц в нашей Вселенной. ^[4]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Обратите внимание, что сверхпроводимость может быть описана теорией Гинзбурга – Ландау с динамическим ЭМ калибровочным полем U (1), которая является калибровочной теорией Z ₂ , то есть эффективной теорией топологического порядка Z ₂ . Предсказание вихревого состояния в сверхпроводниках было одним из главных успехов теории Гинзбурга–Ландау с динамическим калибровочным полем U(1). Вихрь в калибровочной теории Гинзбурга–Ландау есть не что иное, как потока Z2 _линия в теории Z2 _{калибровочной} . Теория Гинзбурга–Ландау без динамического калибровочного поля U(1) не может описать реальные сверхпроводники с динамическим электромагнитным взаимодействием. ^[8]^[25]^[26]^[27]Однако в физике конденсированного состояния сверхпроводником обычно называют состояние с нединамическим ЭМ калибровочным полем. Такое состояние является состоянием нарушения симметрии без топологического порядка.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вэнь 1990 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вэнь и Ню, 1990 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Чен, Се; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (2010). «Локальное унитарное преобразование, дальнодействующая квантовая запутанность, перенормировка волновой функции и топологический порядок». Физ. Преподобный Б. 82 (15): 155138. arXiv : 1004.3835 . Бибкод : 2010PhRvB..82o5138C . дои : 10.1103/physrevb.82.155138 . S2CID 14593420 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Левин и Вен, 2005а См. также Левин и Вен, 2006а.
^ Перейти обратно: ^а ^б Калмейер и Лафлин, 1987 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вэнь, Вильчек и Зи, 1989 , стр. 11413–23.
^ Рид, Н.; Сачдев, Субир (1991). «Расширение с большим N для разочарованных квантовых антиферромагнетиков». Физ. Преподобный Летт . 66 (13): 1773–6. Бибкод : 1991PhRvL..66.1773R . дои : 10.1103/physrevlett.66.1773 . ПМИД 10043303 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вэнь, Сяо-Ган (1991). «Теория среднего поля состояний спиновой жидкости с конечной энергетической щелью и топологическими порядками». Физ. Преподобный Б. 44 (6): 2664–72. Бибкод : 1991PhRvB..44.2664W . дои : 10.1103/physrevb.44.2664 . ПМИД 9999836 . S2CID 1675592 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Цуй, Стормер и Госсард, 1982 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Лафлин 1983 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Китаев 2003 г.
^ Мур, Джоэл Э. (2010). «Рождение топологических изоляторов». Природа . 464 (7286): 194–8. Бибкод : 2010Natur.464..194M . дои : 10.1038/nature08916 . ПМИД 20220837 . S2CID 1911343 .
^ Сяо-Ган Вэнь , Введение топологических порядков (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 г.
^ Беднорц, Г.; Мюллер, К.А. (1986). «Возможная высокая сверхпроводимость TC в системе Ba-La-Cu-O». З. Физ. Б. 64 (2): 189–193. Бибкод : 1986ZPhyB..64..189B . дои : 10.1007/BF01303701 . S2CID 118314311 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Сяо-Ган Вэнь , физ. Rev. B, 40 , 7387 (1989), "Вакуумное вырождение состояния кирального спина в компактифицированных пространствах"
^ Атья, Майкл (1988), «Топологические квантовые теории поля», Publications Mathematiques de l'IHéS (68): 175, MR 1001453 , ISSN 1618-1913 , http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0
^ Виттен, Эдвард (1988), «Топологическая квантовая теория поля», Communications in Mathematical Physics 117 (3): 353, MR 953828 , ISSN 0010-3616 , http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738.
^ Еще 1993 г.
^ Ван, Ювен; Вэнь, Сяо-Ган (13 марта 2015 г.). «Граничное вырождение топологического порядка». Физический обзор B . 91 (12): 125124. arXiv : 1212.4863 . Бибкод : 2015PhRvB..91l5124W . дои : 10.1103/PhysRevB.91.125124 . S2CID 17803056 .
^ Капустин Антон (19 марта 2014 г.). «Вырождение основного состояния для абелевых анионов при наличии щелевых границ». Физический обзор B . 89 (12): 125307. arXiv : 1306.4254 . Бибкод : 2014PhRvB..89l5307K . дои : 10.1103/PhysRevB.89.125307 . S2CID 33537923 .
^ Ван, Хунг; Ван, Идунь (18 февраля 2015 г.). «Вырождение основного состояния топологических фаз на открытых поверхностях». Письма о физических обзорах . 114 (7): 076401. arXiv : 1408.0014 . Бибкод : 2015PhRvL.114g6401H . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.076401 . ПМИД 25763964 . S2CID 10125789 .
^ Лан, Тиан; Ван, Ювен; Вэнь, Сяо-Ган (18 февраля 2015 г.). «Доменные границы с разрывами, границы с разрывами и топологическое вырождение». Письма о физических обзорах . 114 (7): 076402. arXiv : 1408.6514 . Бибкод : 2015PhRvL.114g6402L . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.076402 . ПМИД 25763965 . S2CID 14662084 .
^ Китаев и Прескилл, 2006 г.
^ Левин и Вен, 2006 г.
^ Мороз, Сергей; Прем, Абхинав; Гурари, Виктор; Радзиховский, Лев (2017). «Топологический порядок, симметрия и отклик Холла двумерных спин-синглетных сверхпроводников» . Физический обзор B . 95 (1): 014508. arXiv : 1606.03462 . Бибкод : 2017PhRvB..95a4508M . дои : 10.1103/PhysRevB.95.014508 .
^ Ханссон, TH; Оганесян Вадим; Сондхи, СЛ (2004). «Сверхпроводники топологически упорядочены». Анналы физики . 313 (2): 497–538. arXiv : cond-mat/0404327 . Бибкод : 2004AnPhy.313..497H . дои : 10.1016/j.aop.2004.05.006 .
^ Сяо-Лян Ци; Эдвард Виттен ; Шоу-Чэн Чжан (2012). «Аксионная топологическая теория поля топологических сверхпроводников». Физический обзор B . 87 (13): 134519. arXiv : 1206.1407 . Бибкод : 2013PhRvB..87m4519Q . дои : 10.1103/PhysRevB.87.134519 . S2CID 119204930 .
^ Юзелюнас, Гедиминас; Ян Спилман (2011). «Видеть топологический порядок» . Физика . 4 (99): 99. Бибкод : 2011PhyOJ...4...99J . дои : 10.1103/Физика.4.99 .
^ Чжан, Ю.Ф.; Ли, Хуэйчао; Шэн, Л.; Шен, Р.; Син, ДЮ (2012). «Запутывание и количество частиц подсистемы в свободных фермионных системах». Физический журнал: конденсированное вещество . 26 (10): 105502. arXiv : 1111.0791 . дои : 10.1088/0953-8984/26/10/105502 . ПМИД 24553300 . S2CID 14947121 .
^ Ван, Чэньцзе; Левин, Майкл (22 августа 2014 г.). «Статистика сплетения петлевых возбуждений в трех измерениях». Письма о физических обзорах . 113 (8): 080403. arXiv : 1403.7437 . Бибкод : 2014PhRvL.113h0403W . doi : 10.1103/PhysRevLett.113.080403 . ПМИД 25192079 . S2CID 23104804 .
^ Ван, Ювен; Вэнь, Сяо-Ган (15 января 2015 г.). «Неабелева струна и плетение частиц в топологическом порядке: модульное представление SL (3, Z) и теория витой калибровки 3 + 1D». Физический обзор B . 91 (3): 035134. arXiv : 1404.7854 . дои : 10.1103/PhysRevB.91.035134 . S2CID 13893760 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Путров, Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (сентябрь 2017 г.). «Статистика сплетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1». Анналы физики . 384С : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Бибкод : 2017АнФиз.384..254П . дои : 10.1016/j.aop.2017.06.019 . S2CID 119578849 .
^ Левин и Вен, 2005 г.
^ Левин и Вен, 2003 г.
^ Хамма, Занарди и Вен 2005 г.
^ Бомбин и Мартин-Дельгадо, 2007 г.
^ Вэнь, Сяо-Ган (1991). «Топологические порядки и теория Черна-Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости». Межд. Дж. Мод. Физ. Б. 5 (10): 1641. Бибкод : 1991IJMPB...5.1641W . CiteSeerX 10.1.1.676.1963 . дои : 10.1142/s0217979291001541 . ; Топологические порядки и теория Черна – Саймонса в сильно коррелированной квантовой жидкости. обзор, содержащий комментарии о топологических порядках в высших измерениях и/или в фазах Хиггса ; также ввел индекс размерности (DI) для характеристики устойчивости вырождения основного состояния топологически упорядоченного состояния. Если DI меньше или равен 1, то топологические порядки не могут существовать при конечной температуре.
^ Прем, Абхинав; Хаа, Чонван; Нандкишор, Рахул (2017). «Стеклянная квантовая динамика в моделях трансляционно-инвариантных фрактонов». Физический обзор B . 95 (15): 155133. arXiv : 1702.02952 . Бибкод : 2017PhRvB..95o5133P . дои : 10.1103/PhysRevB.95.155133 . S2CID 118911031 .
^ Шамон 2005 г.
^ Блок, Б.; Вэнь, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла при общих фракциях заполнения». Физический обзор B . 42 (13): 8133–44. Бибкод : 1990PhRvB..42.8133B . дои : 10.1103/physrevb.42.8133 . ПМИД 9994984 .
^ Блок, Б.; Вэнь, XG (1 октября 1990 г.). «Эффективные теории дробного квантового эффекта Холла: построение иерархии». Физический обзор B . 42 (13): 8145–56. Бибкод : 1990PhRvB..42.8145B . дои : 10.1103/physrevb.42.8145 . ПМИД 9994985 .
^ Рид, Н. (17 сентября 1990 г.). «Структура возбуждения иерархической схемы в дробном квантовом эффекте Холла». Письма о физических обзорах . 65 (12): 1502–5. Бибкод : 1990PhRvL..65.1502R . дои : 10.1103/physrevlett.65.1502 . ПМИД 10042282 .
^ Вэнь, XG; Зи, А. (15 июля 1992 г.). «Классификация абелевых квантовых состояний Холла и матричная формулировка топологических жидкостей». Физический обзор B . 46 (4): 2290–2301. Бибкод : 1992PhRvB..46.2290W . дои : 10.1103/physrevb.46.2290 . ПМИД 10003903 .
^ Баяну, Ион К. (23 апреля 2009 г.). «Алгебраические топологические основы суперсимметрии и нарушения симметрии в квантовой теории поля и квантовой гравитации: обзор» . Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 5 : 051. arXiv : 0904.3644 . Бибкод : 2009SIGMA...5..051B . дои : 10.3842/sigma.2009.051 .
^ Деннис и др. 2002 г.
^ Фридман и др. 2003 г.
^ Вэнь 1991а
^ Кейн, CL; Меле, EJ (23 ноября 2005 г.). «Квантовый спиновый эффект Холла в графене». Письма о физических обзорах . 95 (22): 226801. arXiv : cond-mat/0411737 . Бибкод : 2005PhRvL..95v6801K . doi : 10.1103/physrevlett.95.226801 . ПМИД 16384250 . S2CID 6080059 .
^ Мураками, Шуичи; Нагаоса, Наото; Чжан, Шоу-Чэн (6 октября 2004 г.). «Изолятор Спин-Холла». Письма о физических обзорах . 93 (15): 156804. arXiv : cond-mat/0406001 . Бибкод : 2004PhRvL..93o6804M . дои : 10.1103/physrevlett.93.156804 . ПМИД 15524922 . S2CID 13018985 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Чен, Се; Лю, Чжэн-Синь; Вэнь, Сяо-Ган (2011). «2D-симметрия защищала топологические порядки и их бесщелевые краевые возбуждения». Физ. Преподобный Б. 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Бибкод : 2011PhRvB..84w5141C . дои : 10.1103/physrevb.84.235141 . S2CID 55330505 .
^ Холдейн, FDM (11 апреля 1983 г.). «Нелинейная теория поля антиферромагнетиков Гейзенберга с большим спином: полуклассически квантованные солитоны одномерного состояния Нееля с легкой осью» . Письма о физических обзорах . 50 (15): 1153–6. Бибкод : 1983PhRvL..50.1153H . дои : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
^ Холдейн, FDM (11 ноября 2004 г.). «Кривизна Берри на поверхности Ферми: аномальный эффект Холла как топологическое свойство ферми-жидкости». Письма о физических обзорах . 93 (20): 206602. arXiv : cond-mat/0408417 . Бибкод : 2004PhRvL..93t6602H . doi : 10.1103/physrevlett.93.206602 . ПМИД 15600949 . S2CID 35487502 .
^ Аффлек, Ян; Холдейн, FDM (1 сентября 1987 г.). «Критическая теория квантовых спиновых цепочек». Физический обзор B . 36 (10): 5291–5300. Бибкод : 1987PhRvB..36.5291A . дои : 10.1103/physrevb.36.5291 . ПМИД 9942166 .
^ Аффлек, I (15 мая 1989 г.). «Квантовые спиновые цепочки и щель Холдейна». Физический журнал: конденсированное вещество . 1 (19). Издательство ИОП: 3047–72. Бибкод : 1989JPCM....1.3047A . дои : 10.1088/0953-8984/19.01.001 . S2CID 250850599 .

Ссылки по категориям [ править ]

Холла состояния Дробные квантовые

Цуй, округ Колумбия ; Стормер, HL ; Госсард, AC (1982). «Двумерный магнитотранспорт в крайнем квантовом пределе» . Физ. Преподобный Летт . 48 (22): 1559–62. Бибкод : 1982PhRvL..48.1559T . дои : 10.1103/physrevlett.48.1559 .
Лафлин, РБ (1983). «Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с дробно заряженными возбуждениями». Физ. Преподобный Летт . 50 (18): 1395–98. Бибкод : 1983PhRvL..50.1395L . дои : 10.1103/physrevlett.50.1395 . S2CID 120080343 .

спиновые состояния Киральные

Кальмейер, В.; Лафлин, РБ (2 ноября 1987 г.). «Эквивалентность резонирующих валентных связей и дробных квантовых состояний Холла» . Письма о физических обзорах . 59 (18): 2095–8. Бибкод : 1987PhRvL..59.2095K . doi : 10.1103/physrevlett.59.2095 . ПМИД 10035416 .
Вэнь, XG; Вильчек, Франк; Зи, А. (1 июня 1989 г.). «Киральные спиновые состояния и сверхпроводимость». Физический обзор B . 39 (16): 11413–23. Бибкод : 1989PhRvB..3911413W . дои : 10.1103/PhysRevB.39.11413 . ПМИД 9947970 .

состояний FQH характеристика Ранняя

Недиагональный дальний порядок, наклонное ограничение и дробный квантовый эффект Холла, С.М. Гирвин и А.Х. Макдональд, Phys. Преподобный Летт., 58 , 1252 (1987)
Модель теории эффективного поля для дробного квантового эффекта Холла, С.Чжан, Т.Х. Ханссон и С. Кивельсон, Phys. Преподобный Письмо, 62 , 82 (1989)