Oseledets theorem

В математике мультипликативная эргодическая теорема , или теорема Оселедца, теоретическую основу для вычисления показателей Ляпунова нелинейной обеспечивает динамической системы . Это было доказано Валерием Оселедцем (также пишется «Оселедец») в 1965 году и доложено на Международном математическом конгрессе в Москве в 1966 году. Концептуально иное доказательство мультипликативной эргодической теоремы было найдено М. С. Рагунатаном . ^{[ нужна ссылка ]}^{[ 1 ]} Теорема была распространена на полупростые группы Ли В. А. Каймановичем и далее обобщена в работах Давида Рюэля , Григория Маргулиса , Андерса Карлссона , Франсуа Ледраппье . ^{[ нужна ссылка ]}

Коциклы

Мультипликативная эргодическая теорема формулируется в терминах матричных коциклов динамической системы. Теорема формулирует условия существования определяющих пределов и описывает показатели Ляпунова. Он не учитывает скорость конвергенции.

Коцикл — автономной динамической системы X это отображение С : Х × Т → Р ^n×n удовлетворяющий

C(x,0)=I_{n}{\rm {~for~all~}}x\in X

C(x,t+s)=C(x(t),s)\,C(x,t){\rm {~for~all~}}x\in X{\rm {~and~}}t,s\in T

где X и T (при T = Z⁺ или T = R⁺ ) — фазовое пространство и временной диапазон соответственно динамической системы, и I _n представляет собой n -мерную единичную матрицу. Размерность n матриц C не связана с фазовым X. пространством

Примеры

Ярким примером коцикла является матрица J ^т в теории показателей Ляпунова. В этом специальном случае размерность n матриц равна размерности многообразия X .
Для любого коцикла C определитель , det C ( x . t ) является одномерным коциклом

Формулировка теоремы

Пусть µ — эргодическая инвариантная мера на X и C — коцикл динамической системы такая, что для каждого t ∈ T отображения $x\rightarrow \log \|C(x,t)\|$ и $x\rightarrow \log \|C(x,t)^{-1}\|$ L ¹-интегрируемо по µ . Тогда для µ -почти все x и каждый ненулевой вектор u ∈ R ^н предел

\lambda =\lim _{t\to \infty }{1 \over t}\log {\|C(x,t)u\| \over \|u\|}

существует и принимает в зависимости от u , но не от x , до n различных значений. Это показатели Ляпунова.

Далее, если λ ₁ > ... > λ _m — это разные пределы, то существуют подпространства R ^н = R ₁ ⊃ ... ⊃ R _m ⊃ R _{m +1} = {0}, в зависимости от x , такой, что предел равен λ _i для u ∈ R _i \ R _{i +1} и i = 1, ..., м .

Значения показателей Ляпунова инвариантны относительно широкого диапазона преобразований координат. Предположим, что g : X → X — взаимно однозначное отображение такое, что $\partial g/\partial x$ и его инверсия существуют; то значения показателей Ляпунова не меняются.

Аддитивные и мультипликативные эргодические теоремы

На словах эргодичность означает, что средние значения во времени и пространстве формально равны:

\lim _{t\to \infty }{1 \over t}\int _{0}^{t}f(x(s))\,ds={1 \over \mu (X)}\int _{X}f(x)\,\mu (dx)

где интегралы и предел существуют. Среднее по пространству (правая часть, μ — эргодическая мера на X ) представляет собой накопление значений f ( x ), взвешенных по µ ( dx ). Поскольку сложение коммутативно, накопление значений f ( x )μ( dx ) может выполняться в произвольном порядке. Напротив, среднее по времени (левая часть) предполагает определенный порядок значений f ( x ( s )) вдоль траектории.

Поскольку умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно, накопление умноженных значений коцикла (и их пределов) в соответствии с C ( Икс ( т ₀ ), т _k ) знак равно C ( Икс ( т _{k -1} ), т _k - т _{k -1} ) ... C ( Икс ( т ₀ ), т ₁ - т ₀ ) — для t _k больших и шаги t _i − t _{i −1} малы — имеют смысл только для заданного порядка. Таким образом, среднее по времени может существовать (и теорема утверждает, что оно действительно существует), но не существует аналога среднего по пространству. Другими словами, теорема Оселедца отличается от аддитивных эргодических теорем (таких как теоремы Г. Д. Биркгофа и Дж. фон Неймана ) тем, что она гарантирует существование среднего по времени, но не делает никаких заявлений о среднем по пространству.

Ссылки

^ «Мультипликативная эргодическая теорема Оселедца и показатели Ляпунова» (PDF) .

Oseledets, V. I. (1968). "Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем" [Multiplicative ergodic theorem: Characteristic Lyapunov exponents of dynamical systems]. Trudy MMO (in Russian). 19 : 179–210.
Рюэль, Д. (1979). «Эргодическая теория дифференцируемых динамических систем» (PDF) . Издательство ИХЭС. Математика . 50 (1): 27–58. дои : 10.1007/BF02684768 . S2CID 56389695 .

Внешние ссылки

V. I. Oseledets, Oseledets theorem at Scholarpedia

[1] «Мультипликативная эргодическая теорема Оселедца и показатели Ляпунова» (PDF) .

[ 1 ]