Модель Олдройд-Б

Модель Олдройда-Б — это конститутивная модель, используемая для описания течения вязкоупругих жидкостей. Эту модель можно рассматривать как расширение модели Максвелла с верхней конвекцией и эквивалентно жидкости, заполненной упругими шариками и пружинными гантелями. Модель названа в честь своего создателя Джеймса Г. Олдройда .

Модель можно записать как: $$\mathbf {T} +\lambda _{1}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}(\mathbf {D} +\lambda _{2}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {D} }})$$ где:

• $\mathbf {T}$ – девиаторная часть напряжений тензора ;
• $\lambda _{1}$ – время релаксации;
• $\lambda _{2}$ время замедления = ${\frac {\eta _{s}}{\eta _{0}}}\lambda _{1}$;
• ${\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}$ – производная по времени от тензора напряжений при конвекции сверху: $${\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -((\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} +\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} ));$$
• $\mathbf {v}$ – скорость жидкости;
• $\eta _{0}$ — общая вязкость, состоящая из растворителя и полимерных компонентов, $\eta _{0}=\eta _{s}+\eta _{p}$;
• $\mathbf {D}$ – тензор скорости деформации или тензор скорости деформации, $\mathbf {D} ={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )^{T}\right]$.

Модель также можно записать разделенной на полимерную (вязкоупругую) часть отдельно от растворяющей части: $$\mathbf {T} =2\eta _{s}\mathbf {D} +\mathbf {\tau } ,$$ где $$\mathbf {\tau } +\lambda _{1}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {\tau } }}=2\eta _{p}\mathbf {D}$$

Хотя модель дает хорошее приближение вязкоупругих жидкостей в сдвиговом потоке, она имеет нефизическую особенность в потоке растяжения, когда гантели бесконечно растягиваются. Однако это характерно для идеализированного потока; в случае геометрии с поперечными пазами поток при растяжении не является идеальным, поэтому напряжение, хотя и сингулярное, остается интегрируемым, т. е. напряжение бесконечно в соответственно бесконечно малой области.

Если вязкость растворителя равна нулю, модель Олдройда-Б становится моделью Максвелла с верхней конвекцией .