Производная по времени с верхней конвекцией

В механике сплошной среды , включая гидродинамику , производная по времени с верхней конвекцией или производная Олдройда , названная в честь Джеймса Г. Олдройда , представляет собой скорость изменения некоторого тензорного свойства небольшого участка жидкости, который записан в системе координат, вращающейся и растягивающейся. с жидкостью.

Оператор задается следующей формулой:

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {v} )$

где:

• ${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}$ - производная по времени, конвективная сверху, тензорного поля $\mathbf {A}$
• ${\frac {D}{Dt}}$ является основной производной
• $\nabla \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}$ – тензор скорости производных жидкости.

Формулу можно переписать так:

${\stackrel {\triangledown }{A}}_{i,j}={\frac {\partial A_{i,j}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial A_{i,j}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}A_{k,j}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}A_{i,k}$

По определению, производная по времени тензора Фингера, конвектируемая сверху, всегда равна нулю.

Можно показать, что производная по времени пространственноподобного векторного поля, конвектируемая сверху, представляет собой не что иное, как его производную Ли по полю скорости континуума.

Производная с верхней конвекцией широко используется в полимеров реологии для описания поведения вязкоупругой жидкости при больших деформациях.

Обозначения

Форма, в которой записано уравнение, не совсем ясна из-за разных определений $\nabla \mathbf {v}$. Этот термин можно определить как $(\nabla \mathbf {v} )_{ij}={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}$ или его транспонирование (например, см. Strain-rate_tensor, содержащий оба). Изменение этого определения требует только изменений в операциях транспонирования и, таким образом, в значительной степени несущественно и может быть сделано, пока сохраняется последовательность. Используемые здесь обозначения выбраны так, чтобы соответствовать литературным данным с использованием производной с верхней конвекцией.

Примеры для симметричного тензора A

Простой сдвиг

В случае простого сдвига :

$\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

Таким образом,

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\dot {\gamma }}{\begin{pmatrix}2A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{22}&0&0\\A_{23}&0&0\end{pmatrix}}$

Одноосное расширение несжимаемой жидкости

В этом случае материал растягивается в направлении X и сжимается в направлениях Y и Z, чтобы сохранить постоянный объем.Градиенты скорости:

$\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}{\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}&0\\0&0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}\end{pmatrix}}$

Таким образом,

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}{\begin{pmatrix}4A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&-2A_{22}&-2A_{23}\\A_{13}&-2A_{23}&-2A_{33}\end{pmatrix}}$

См. также

• Модель Максвелла с верхней конвекцией

Ссылки

• Макоско, Кристофер (1993). Реология. Принципы, измерения и приложения . Издательство ВЧ. ISBN  978-1-56081-579-2 .

Примечания