Конечная теория деформации

В континуумной механике теория конечной деформации - также называемая теорией большой деформации или теорией большой деформации - диски с деформациями , в которых штаммы и/или вращения достаточно велики, чтобы аннулировать допущения, присущие теории бесконечно -максимальной деформации . В этом случае неформированные и деформированные конфигурации континуума значительно различаются, что требует четкого различия между ними. Это обычно относится к эластомерам , пластически деформирующим материалам и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .

Поле смещения

Этот раздел представляет собой выдержка из поля смещения (механика) § разложение . [ редактировать ]

Рисунок 1. Движение континуума.

Смещение тела имеет два компонента: смещение жесткого тела и деформация.

• Смещение твердого тела состоит из одновременного перевода и вращения тела без изменения его формы или размера.
• Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела из начальной или неформированной конфигурации $\kappa _{0}({\mathcal {B}})$ к текущей или деформированной конфигурации $\kappa _{t}({\mathcal {B}})$ (Рисунок 1).

Изменение конфигурации тела континуума может быть описано полем смещения . Поле смещения - это векторное поле всех перемещающихся векторов для всех частиц тела, что связано с деформированной конфигурацией с необразованной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется в то время как и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение жесткого тела.

Тензор градиента деформации

Рисунок 2. Деформация тела континуума.

Тензор градиента деформации $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ связан как с эталонной, так и с текущей конфигурацией, как видно из единичных векторов $\mathbf {e} _{j}$ и $\mathbf {I} _{K}\,\!$, следовательно, это тензор с двумя точками . Два типа тензора градиента деформации могут быть определены.

Из -за предположения о непрерывности $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, $\mathbf {F}$ имеет обратное $\mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!$, где $\mathbf {H}$ является тензором градиента пространственной деформации . Затем, по теореме неявной функции , Якобийский ​ детерминант $J(\mathbf {X} ,t)$ Должно быть нерезингированным , т.е. $J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0$

материала Тензор градиента деформации $\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}$ Тензор второго порядка , который представляет градиент функции отображения или функционального отношения $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, который описывает движение континуума . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения $\mathbf {X} \,\!$, т.е. деформация в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) элемент линии материала, исходящий из этой точки из эталонной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность в функции сопоставления $\chi (\mathbf {X} ,t)\,\!$, т.е. дифференцируемая функция $\mathbf {X}$ и время $t\,\!$, что подразумевает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, у нас есть, $${\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

Относительное перемещение вектор

Рассмотрим частицу или материальную точку $P$ с вектором положения $\mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}$ В неформированной конфигурации (рисунок 2). После смещения тела новое положение частицы, указанное $p$ в новой конфигурации задается векторной позицией $\mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!$Полем Системы координат для неформированной и деформированной конфигурации могут быть наложены на удобство.

Рассмотрим теперь материал $Q$ соседний $P\,\!$, с вектором положения $\mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!$Полем В деформированной конфигурации эта частица имеет новую позицию $q$ дано вектором положения $\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!$Полем Предполагая, что сегменты линии $\Delta X$ и $\Delta \mathbf {x}$ соединение частиц $P$ и $Q$ Как в неформированной, так и в деформированной конфигурации, соответственно, очень маленькой, тогда мы можем выразить их как $d\mathbf {X}$ и $d\mathbf {x} \,\!$Полем Таким образом, из рисунка 2 у нас есть $${\begin{aligned}\mathbf {x} +d\mathbf {x} &=\mathbf {X} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\d\mathbf {x} &=\mathbf {X} -\mathbf {x} +d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )-\mathbf {u} (\mathbf {X} )\\&=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\\end{aligned}}$$

где $\mathbf {du}$ является вектором относительного смещения , который представляет относительное смещение $Q$ Что касается $P$ В деформированной конфигурации.

Тейлор приближение

Для бесконечно максимального элемента $d\mathbf {X} \,\!$И предполагая непрерывность на поле смещения, можно использовать расширение серии Тейлор вокруг точки $P\,\!$, пренебрегая терминами высшего порядка, чтобы приблизиться к компонентам вектора относительного смещения для соседней частицы $Q$ как $${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} +d\mathbf {X} )&=\mathbf {u} (\mathbf {X} )+d\mathbf {u} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}=u_{i}+du_{i}\\&\approx \mathbf {u} (\mathbf {X} )+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \quad &{\text{or}}&\quad u_{i}^{*}\approx u_{i}+{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{J}}}dX_{J}\,.\end{aligned}}$$ Таким образом, предыдущее уравнение $d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u}$ может быть написан как $${\begin{aligned}d\mathbf {x} &=d\mathbf {X} +d\mathbf {u} \\&=d\mathbf {X} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \cdot d\mathbf {X} \\&=\left(\mathbf {I} +\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} d\mathbf {X} \end{aligned}}$$

Проверка по времени градиента деформации

Расчеты, которые включают в себя зависимую от времени деформация тела, часто требуют рассчитываемого времени градиента деформации. Геометрически согласованное определение такого производного требует экскурсии в дифференциальную геометрию Но мы избегаем этих проблем в этой статье.

Временная производная $\mathbf {F}$ является $${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[{\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]$$ где $\mathbf {V}$ (материал) скорость. Производная с правой стороны представляет градиент скорости материала . Обычно это превращает это в пространственный градиент, применяя правило цепи для производных, т.е. $${\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)\right]={\frac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t),t)\right]=\left.{\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left[\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right]\right|_{\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}\cdot {\frac {\partial \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)}{\partial \mathbf {X} }}={\boldsymbol {l}}\cdot \mathbf {F}$$ где ${\boldsymbol {l}}=(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {v} )^{T}$ это градиент пространственной скорости и где $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {V} (\mathbf {X} ,t)$ это пространственная (эйлеровая) скорость в $\mathbf {x} =\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)$Полем Если градиент пространственной скорости является постоянным во времени, вышеупомянутое уравнение может быть решено точно, чтобы дать $$\mathbf {F} =e^{{\boldsymbol {l}}\,t}$$ предполагая $\mathbf {F} =\mathbf {1}$ в $t=0$Полем Есть несколько методов вычисления экспоненциальной выше.

Связанные величины, часто используемые в механике континуума, являются скоростью тензора деформации , а тензора спина определяется, соответственно, как: $${\boldsymbol {d}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}+{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,,~~{\boldsymbol {w}}={\tfrac {1}{2}}\left({\boldsymbol {l}}-{\boldsymbol {l}}^{T}\right)\,.$$ Скорость тензора деформации дает скорость растяжения линейных элементов, в то время как резкий тензор указывает скорость вращения или завихренности движения.

Производство времени материала для обратного градиента деформации (поддержание фиксированной конфигурации) часто требуется в анализах, которые включают конечные штаммы. Это производное есть $${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {F} ^{-1}\right)=-\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,.$$ Вышеупомянутое отношение может быть проверено путем принятия материала времени $\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X}$ и отмечая это ${\dot {\mathbf {X} }}=0$.

Полярное разложение тензора градиента деформации

Рисунок 3. Представление полярного разложения градиента деформации

Градиент деформации $\mathbf {F} \,\!$, как и любой инвертируемый тензор второго порядка, может быть разложен, используя теорему полярного разложения , в продукт двух тензоров второго порядка (Truesdell and Noll, 1965): ортогональный тензор и положительный определенный симметричный тензор, т.е. $$\mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U} =\mathbf {V} \mathbf {R}$$ где тензор $\mathbf {R}$ является правильным ортогональным тензором , т.е. $\mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}$ и $\det \mathbf {R} =+1\,\!$, представляя вращение; Тенсор $\mathbf {U}$ является правым тензором растяжения ; и $\mathbf {V}$ левый растяжку . Условия справа и влево означает, что они справа и слева от тензора вращения $\mathbf {R} \,\!$, соответственно. $\mathbf {U}$ и $\mathbf {V}$ оба положительные определенные , т.е. $\mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0$ и $\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0$ для всех ненулевых $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$и симметричные тензоры , т.е. $\mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}$ и $\mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!$, второго порядка.

Это разложение подразумевает, что деформация линейного элемента $d\mathbf {X}$ в неформированной конфигурации на $d\mathbf {x}$ В деформированной конфигурации, т.е. $d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!$, можно получить либо путем первого растяжения элемента $\mathbf {U} \,\!$IE $d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!$, сопровождаемый вращением $\mathbf {R} \,\!$IE, $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!$; или эквивалентно, применив жесткое вращение $\mathbf {R}$ Во -первых, т.е. $d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!$, последовавшим позже растяжением $\mathbf {V} \,\!$IE, $d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x}$ (См. Рисунок 3).

Из -за ортогональности $\mathbf {R}$ $$\mathbf {V} =\mathbf {R} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {R} ^{T}$$ так что $\mathbf {U}$ и $\mathbf {V}$ иметь одинаковые собственные значения или основные участки , но разные собственные векторы или основные направления $\mathbf {N} _{i}$ и $\mathbf {n} _{i}\,\!$, соответственно. Основные направления связаны $$\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} \mathbf {N} _{i}.$$

Это полярное разложение, которое уникально как $\mathbf {F}$ инвертируется с положительным детерминантом, является следствием разложения единственной стоимости .

Преобразование поверхностного и объемного элемента

Для преобразования величин, которые определены в отношении областей в деформированной конфигурации в число по сравнению с областями в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем отношение Нансона , выраженное как $$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$ где $da$ является областью области в деформированной конфигурации, $dA$ такая же область в эталонной конфигурации, и $\mathbf {n}$ является внешним нормальным для элемента области в текущей конфигурации, когда $\mathbf {N}$ Внешний внешний в контрольной конфигурации, $\mathbf {F}$ градиент деформации , и $J=\det \mathbf {F} \,\!$.

Соответствующая формула для преобразования элемента объема $$dv=J~dV$$

Вывод отношения Нансона (см. Также )

Чтобы увидеть, как получена эта формула, мы начинаем с ориентированных элементов области в ссылке и текущих конфигурациях: $$d\mathbf {A} =dA~\mathbf {N} ~;~~d\mathbf {a} =da~\mathbf {n}$$ Справочные и токовые объемы элемента $$dV=d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L} ~;~~dv=d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l}$$ где $d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!$.

Поэтому, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot d\mathbf {l} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$ или, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} =dv=J~dV=J~d\mathbf {A} ^{T}\cdot d\mathbf {L}$$ так, $$d\mathbf {a} ^{T}\cdot \mathbf {F} =J~d\mathbf {A} ^{T}$$ Итак, мы получаем $$d\mathbf {a} =J~\mathbf {F} ^{-T}\cdot d\mathbf {A}$$ или, $$da~\mathbf {n} =J~dA~\mathbf {F} ^{-T}\cdot \mathbf {N}$$ QED

Фундаментальные тензоры напряжения

Тензор деформации определяется IUPAC как:

«Симметричный тензор, который приводит к тому, что тензор градиента деформации факторирует в тензор вращения, за которым следует или предшествует симметричному тензору».

Поскольку чистое вращение не должно индуцировать штаммы в деформируемом теле, часто удобно использовать независимые от вращения измерения деформации в механике континуума . В качестве вращения с последующим обратным вращением приводит к отсутствию изменений ( $\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}=\mathbf {R} ^{T}\mathbf {R} =\mathbf {I} \,\!$) мы можем исключить вращение, умножив тензор градиента деформации $\mathbf {F}$ по его транспонированию .

Несколько тензоров градиента деформации, независимых от вращения (или «тензоров деформации», для краткости) используются в механике. В твердой механике наиболее популярными из них являются правые и левые тензоры деформации Cauchy -Green.

Тензор штамма Cauchy (правый тензор деформации косика)

В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации или тензор деформации Грина ( IUPAC рекомендует назвать этот тензор тензором штамма Cauchy ), определяется как:

$$\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} =\mathbf {U} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad C_{IJ}=F_{kI}~F_{kJ}={\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{I}}}{\frac {\partial x_{k}}{\partial X_{J}}}.$$

Физически, тензор Cauchy -Green дает нам квадрат локальных изменений расстояний из -за деформации, т.е. $d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X}$

Инварианты $\mathbf {C}$ часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто инварианты используемые $${\begin{aligned}I_{1}^{C}&:={\text{tr}}(\mathbf {C} )=C_{II}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}^{C}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {C} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {C} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left[(C_{JJ})^{2}-C_{IK}C_{KI}\right]=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}^{C}&:=\det(\mathbf {C} )=J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}.\end{aligned}}$$ где $J:=\det \mathbf {F}$ определяет градиент деформации $\mathbf {F}$ и $\lambda _{i}$ являются растягивающими соотношениями для единичных волокон, которые первоначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (эталонного) тензора растяжения (они, как правило, не выровнены с тремя осью систем координат).

Тензор напряжения пальца

IUPAC ​ рекомендует что обратное правильное тензор деформации Коши -Зерна (называется тензором штамма Cauchy в этом документе), т.е. $\mathbf {C} ^{-1}$, быть названным тензором напряжения пальца . Однако эта номенклатура не принимается в прикладной механике.

$$\mathbf {f} =\mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {F} ^{-T}\qquad {\text{or}}\qquad f_{IJ}={\frac {\partial X_{I}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}$$

Тензор зеленого деформации (левый тензор деформации Cauchy -Green)

Обращение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации с зеленым - кожи приводит к левому тензору деформации , который определяется как: $$\mathbf {B} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{T}=\mathbf {V} ^{2}\qquad {\text{or}}\qquad B_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}$$

Левый тензор деформации Cauchy -Green часто называют тензором деформации пальца , названным в честь Йозефа Финге (1894).

IUPAC рекомендует , чтобы этот тензор был назван тензором зеленого деформации .

Инварианты $\mathbf {B}$ также используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как $${\begin{aligned}I_{1}&:={\text{tr}}(\mathbf {B} )=B_{ii}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&:={\tfrac {1}{2}}\left[({\text{tr}}~\mathbf {B} )^{2}-{\text{tr}}(\mathbf {B} ^{2})\right]={\tfrac {1}{2}}\left(B_{ii}^{2}-B_{jk}B_{kj}\right)=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}+\lambda _{3}^{2}\lambda _{1}^{2}\\I_{3}&:=\det \mathbf {B} =J^{2}=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}\end{aligned}}$$ где $J:=\det \mathbf {F}$ определяет градиент деформации.

Для сжимаемых материалов используется немного другой набор инвариантов: $$({\bar {I}}_{1}:=J^{-2/3}I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}:=J^{-4/3}I_{2}~;~~J\neq 1)~.$$

Тензор штамма пилолы (тензор деформации Cauchy)

Ранее в 1828 году, Августин-Луи Коши ввел тензор деформации, определенный как обратный тензор левого коси-зеленый, $\mathbf {B} ^{-1}\,\!$Полем Этот тензор также был назван тензором штамма Пиолы IUPAC И тензор пальца в литературе по реологии и динамике жидкости.

$$\mathbf {c} =\mathbf {B} ^{-1}=\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad c_{ij}={\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial X_{K}}{\partial x_{j}}}$$

Спектральное представление

Если есть три различных основных участка $\lambda _{i}\,\!$, спектральные разложения $\mathbf {C}$ и $\mathbf {B}$ дано

$$\mathbf {C} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$

Более того,

$$\mathbf {U} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {V} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}$$ $$\mathbf {R} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}$$

Наблюдайте за этим $$\mathbf {V} =\mathbf {R} ~\mathbf {U} ~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~\mathbf {R} ~(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})~\mathbf {R} ^{T}=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})\otimes (\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})$$ Следовательно, уникальность спектрального разложения также подразумевает, что $\mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!$Полем Левая растяжка ( $\mathbf {V} \,\!$) также называется тензором пространственного растяжения во время правого растяжения ( $\mathbf {U} \,\!$) называется материальным тензором растяжения .

Эффект $\mathbf {F}$ Действует на $\mathbf {N} _{i}$ растянуть вектор $\lambda _{i}$ и повернуть его на новую ориентацию $\mathbf {n} _{i}\,\!$IE, $$\mathbf {F} ~\mathbf {N} _{i}=\lambda _{i}~(\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}~\mathbf {n} _{i}$$ В аналогичной вене, $$\mathbf {F} ^{-T}~\mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {n} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{T}~\mathbf {n} _{i}=\lambda _{i}~\mathbf {N} _{i}~;~~\mathbf {F} ^{-1}~\mathbf {n} _{i}={\cfrac {1}{\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}~.$$

Примеры

Одноосное расширение несжимаемого материала

Это тот случай, когда образец растягивается в 1 направление с растяжения соотношением $\mathbf {\alpha =\alpha _{1}} \,\!$Полем Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что $\mathbf {\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}=1}$ или $\mathbf {\alpha _{2}=\alpha _{3}=\alpha ^{-0.5}} \,\!$Полем Затем: $$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\alpha &0&0\\0&\alpha ^{-0.5}&0\\0&0&\alpha ^{-0.5}\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}\alpha ^{2}&0&0\\0&\alpha ^{-1}&0\\0&0&\alpha ^{-1}\end{bmatrix}}$$

Простой сдвиг

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\\gamma &1+\gamma ^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

Гировое вращение тела

$$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$ $$\mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1}$$

Производные растяжения

Производные растяжения относительно правого тензора деформации Cauchy-Green используются для получения напряженных отношений со стороны многих твердых веществ, особенно гиперластических материалов . Эти производные есть $${\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial \mathbf {C} }}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~\mathbf {R} ^{T}~(\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})~\mathbf {R} ~;~~i=1,2,3$$ и следуйте за наблюдениями, что $$\mathbf {C} :(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\lambda _{i}^{2}~;~~~~{\cfrac {\partial \mathbf {C} }{\partial \mathbf {C} }}={\mathsf {I}}^{(s)}~;~~~~{\mathsf {I}}^{(s)}:(\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i})=\mathbf {N} _{i}\otimes \mathbf {N} _{i}.$$

Физическая интерпретация тензоров деформации

Позволять $\mathbf {X} =X^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ быть декартовой системой координат, определенной на неформированном теле и пусть $\mathbf {x} =x^{i}~{\boldsymbol {E}}_{i}$ быть другой системой, определенной на деформированном теле. Пусть кривая $\mathbf {X} (s)$ в неформированном теле параметризован с использованием $s\in [0,1]$Полем Его изображение в деформированном теле $\mathbf {x} (\mathbf {X} (s))$.

Недоформированная длина кривой дается $$l_{X}=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {I}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$ После деформации длина становится $${\begin{aligned}l_{x}&=\int _{0}^{1}\left|{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\right|~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{ds}}}}~ds=\int _{0}^{1}{\sqrt {\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)\cdot \left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\right)}}~ds\\&=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot \left[\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right]\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds\end{aligned}}$$ Обратите внимание, что правый тензор деформации Cauchy -Green определяется как $${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}=\left({\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}\right)^{T}\cdot {\cfrac {d\mathbf {x} }{d\mathbf {X} }}$$ Следовательно, $$l_{x}=\int _{0}^{1}{\sqrt {{\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}\cdot {\boldsymbol {C}}\cdot {\cfrac {d\mathbf {X} }{ds}}}}~ds$$ что указывает на то, что изменения длины характеризуются ${\boldsymbol {C}}$.

Конечные тензоры деформации

Концепция деформации используется для оценки того, насколько данное смещение отличается локально от твердого смещения тела. Одним из таких штаммов для больших деформаций является тензор конечного деформации Лагрангии , также называемый тензором Green-Lagrangian или тензором для деформации зеленого , определяемый как

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

или в зависимости от тензора градиента смещения $$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]$$ или $$E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial u_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial u_{M}}{\partial X_{L}}}\right)$$

Грин-лагранжский тензор деформации-это мера, сколько $\mathbf {C}$ отличается от $\mathbf {I} \,\!$.

Эйлеровый тензор конечного деформации Eulerian или тензор конечного деформации Eulerian-Almansi , ссылаемый на деформированную конфигурацию (то есть описание Eulerian) определяется как

$$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {B} ^{-1})\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

или в зависимости от градиентов смещения у нас $$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

Вывод лагранжевых и эйлеровских тензоров конечных деформаций

Мера деформации - это разница между квадратами элемента дифференциальной линии $d\mathbf {X} \,\!$, в неформированной конфигурации, и $d\mathbf {x} \,\!$, в деформированной конфигурации (рисунок 2). Деформация произошла, если разница не ноль, в противном случае произошло смещение жесткого тела. Таким образом, у нас есть,

$$d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad (dx)^{2}-(dX)^{2}=dx_{j}dx_{j}-dX_{M}\,dX_{M}$$

В описании Лагрангии, используя координаты материала в качестве контрольной системы, линейное преобразование между дифференциальными линиями является

$$d\mathbf {x} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{M}}}\,dX_{M}$$

Тогда у нас есть,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} \\&=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dx)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}\\&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=C_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\\\end{aligned}}$$

где $C_{KL}$ являются компонентами правого тензора деформации, зеленый , $\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} \,\!$Полем Затем заменить это уравнение в первое уравнение, которое у нас есть,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} -d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot (\mathbf {C} -\mathbf {I} )\cdot d\mathbf {X} \\&=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \\\end{aligned}}$$ или $${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}\,dX_{K}\,dX_{L}-dX_{M}\,dX_{M}\\&=\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\,dX_{K}\,dX_{L}\\&=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}\end{aligned}}$$ где $E_{KL}\,\!$, являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором Green-ST-Venant или лагранжевого тензора конечного деформации , $$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)$$

В описании Eulerian, используя пространственные координаты в качестве отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями является $$d\mathbf {X} ={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial \mathbf {x} }}d\mathbf {x} =\mathbf {F} ^{-1}\,d\mathbf {x} =\mathbf {H} \,d\mathbf {x} \qquad {\text{or}}\qquad dX_{M}={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}$$ где ${\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{n}}}$ компоненты тензора градиента пространственной деформации , $\mathbf {H} \,\!$Полем Таким образом, у нас есть

$${\begin{aligned}d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \\&=\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}(dX)^{2}&=dX_{M}\,dX_{M}\\&={\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=c_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\\\end{aligned}}$$ где тензор второго порядка $c_{rs}$ называется тензором деформации Коши , $\mathbf {c} =\mathbf {F} ^{-T}\mathbf {F} ^{-1}\,\!$Полем Тогда у нас есть,

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}&=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} -d\mathbf {x} \cdot \mathbf {c} \cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot (\mathbf {I} -\mathbf {c} )\cdot d\mathbf {x} \\&=d\mathbf {x} \cdot 2\mathbf {e} \cdot d\mathbf {x} \\\end{aligned}}$$ или $${\begin{aligned}(dx)^{2}-(dX)^{2}&=dx_{j}\,dx_{j}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)\,dx_{r}\,dx_{s}\\&=2e_{rs}\,dx_{r}\,dx_{s}\end{aligned}}$$

где $e_{rs}\,\!$, являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором конечного деформации Eulerian-Almansi , $$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {c} )\qquad {\text{or}}\qquad e_{rs}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{rs}-{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial X_{M}}{\partial x_{s}}}\right)$$

Как лагранжианские, так и эйлеровые тензоры конечных деформаций могут быть удобно выражены с точки зрения тензора градиента смещения . Для тензора лагрангианского штамма сначала мы дифференцируем вектор смещения $\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)$ в отношении координат материала $X_{M}$ Чтобы получить тензор градиента смещения материала , $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u}$

$${\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \\\mathbf {F} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \\\end{aligned}}\qquad {\text{or}}\qquad {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\\delta _{iJ}U_{J}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}\\x_{i}&=\delta _{iJ}\left(U_{J}+X_{J}\right)\\{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}&=\delta _{iJ}\left({\frac {\partial U_{J}}{\partial X_{K}}}+\delta _{JK}\right)\\&={\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}+\delta _{iK}\end{aligned}}$$

Замена этого уравнения в выражение для лагранжевого тензора конечного деформации у нас $${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} ^{T}\mathbf {F} -\mathbf {I} \right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\left\{(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\mathbf {I} \right\}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +\mathbf {I} \right)-\mathbf {I} \right]\\&={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\\\end{aligned}}$$ или $${\begin{aligned}E_{KL}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{L}}}-\delta _{KL}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{jM}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\delta _{jN}\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\delta _{MN}\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{N}}{\partial X_{L}}}+\delta _{NL}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}+\delta _{MK}\right)\left({\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}+\delta _{ML}\right)-\delta _{KL}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\end{aligned}}$$

Точно так же тензор конечного деформации Eulerian-Almansi может быть выражен как

$$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right)$$

Семейство Сет -Хилл с генерализованными тензорами деформации

Бр Сет из Индийского технологического института Харагпур был первым, кто показал, что тензоры штамма Грин и Альманси являются особыми случаями более общей меры напряжения . Идея была дополнительно расширена Родни Хилл в 1968 году. Семейство Сет-Хилл Семейства штаммов (также называемые тензорами Дойла-Эриксена) может быть выражен как

$$\mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2m}}\left[\mathbf {C} ^{m}-\mathbf {I} \right]$$

Для разных значений $m$ у нас есть:

• Грин-лагранжский тензор $$\mathbf {E} _{(1)}={\frac {1}{2}}(\mathbf {U} ^{2}-\mathbf {I} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -\mathbf {I} )$$
• Тензор деформации био $$\mathbf {E} _{(1/2)}=(\mathbf {U} -\mathbf {I} )=\mathbf {C} ^{1/2}-\mathbf {I}$$
• Логарифмический штамм, природная деформация, истинный штамм или штамм Хенского $$\mathbf {E} _{(0)}=\ln \mathbf {U} ={\frac {1}{2}}\,\ln \mathbf {C}$$
• Almangs Rhin $$\mathbf {E} _{(-1)}={\frac {1}{2}}\left[\mathbf {I} -\mathbf {U} ^{-2}\right]$$

Приближение этих тензоров второго порядка $$\mathbf {E} _{(m)}={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\tfrac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} )^{T}\cdot \nabla \mathbf {u} -(1-m){\boldsymbol {\varepsilon }}^{T}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}$$ где ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ это бесконечный тензор штамма.

Много других различных определений тензоров $\mathbf {E}$ допустимы, при условии, что все они удовлетворяют условиям, которые:

• $\mathbf {E}$ исчезает для всех движений жесткого тела
• зависимость $\mathbf {E}$ на тензоре градиента смещения $\nabla \mathbf {u}$ непрерывно, непрерывно дифференцируется и монотонно
• Также желательно, что $\mathbf {E}$ Снижение до бесконечно максимального тензора деформации ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ как норм $|\nabla \mathbf {u} |\to 0$

Примером является набор тензоров $$\mathbf {E} ^{(n)}=\left({\mathbf {U} }^{n}-{\mathbf {U} }^{-n}\right)/2n$$ которые не принадлежат классу Seth-Hill, но имеют такое же приближение 2-го порядка, что и измерения Seth-Hill в $m=0$ для любого значения $n$.

Физическая интерпретация тензора конечного напряжения

Диагональные компоненты $E_{KL}$ из лагранжевого тензора конечного деформации связана с нормальной деформацией, например,

$$E_{11}=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}$$

где $e_{(\mathbf {I} _{1})}$ это нормальная деформация или инженерная деформация в направлении $\mathbf {I} _{1}\,\!$.

Вне диагональных компонентов $E_{KL}$ из лагранжевого тензора конечного деформации связана с деформацией сдвига, например,

$$E_{12}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}$$

где $\phi _{12}$ это изменение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны с указаниями $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}\,\!$, соответственно.

При определенных обстоятельствах, т.е. небольшие смещения и небольшие скорости смещения, компоненты тензора конечного деформации лагрангии могут аппроксимировать компонентами бесконечно массивного тензора деформации

Вывод физической интерпретации лагранжианских и эйлеровских тензоров конечных деформаций.

Коэффициент растяжения для дифференциального элемента $d\mathbf {X} =dX\mathbf {N}$ (Рисунок) в направлении единичного вектора $\mathbf {N}$ в материальной точке $P\,\!$, в неформированной конфигурации, определяется как

$$\Lambda _{(\mathbf {N} )}={\frac {dx}{dX}}$$

где $dx$ деформированная величина дифференциального элемента $d\mathbf {X} \,\!$.

Точно так же соотношение растяжения для дифференциального элемента $d\mathbf {x} =dx\mathbf {n}$ (Рисунок), в направлении единичного вектора $\mathbf {n}$ в материальной точке $p\,\!$, в деформированной конфигурации, определяется как $${\frac {1}{\Lambda _{(\mathbf {n} )}}}={\frac {dX}{dx}}$$

Квадрат соотношения растяжения определяется как $$\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=\left({\frac {dx}{dX}}\right)^{2}$$

Зная это $$(dx)^{2}=C_{KL}dX_{K}dX_{L}$$ у нас есть $$\Lambda _{(\mathbf {N} )}^{2}=C_{KL}N_{K}N_{L}$$ где $N_{K}$ и $N_{L}$ единичные векторы.

Нормальная деформация или инженерное напряжение $e_{\mathbf {N} }$ в любом направлении $\mathbf {N}$ может быть выражен как функция отношения растяжения,

$$e_{(\mathbf {N} )}={\frac {dx-dX}{dX}}=\Lambda _{(\mathbf {N} )}-1$$

Таким образом, нормальный напряжение в направлении $\mathbf {I} _{1}$ в материальной точке $P$ может быть выражен с точки зрения соотношения растяжения как

$${\begin{aligned}e_{(\mathbf {I} _{1})}={\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}&=\Lambda _{(\mathbf {I} _{1})}-1\\&={\sqrt {C_{11}}}-1={\sqrt {\delta _{11}+2E_{11}}}-1\\&={\sqrt {1+2E_{11}}}-1\end{aligned}}$$

Решение для $E_{11}$ у нас есть

$${\begin{aligned}2E_{11}&={\frac {(dx_{1})^{2}-(dX_{1})^{2}}{(dX_{1})^{2}}}\\E_{11}&=\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx_{1}-dX_{1}}{dX_{1}}}\right)^{2}\\&=e_{(\mathbf {I} _{1})}+{\frac {1}{2}}e_{(\mathbf {I} _{1})}^{2}\end{aligned}}$$

Деформация сдвига или изменение угла между двумя элементами линии $d\mathbf {X} _{1}$ и $d\mathbf {X} _{2}$ Первоначально перпендикулярно и ориентирован в основных направлениях $\mathbf {I} _{1}$ и $\mathbf {I} _{2}\,\!$соответственно, также может быть выражен в зависимости от отношения растяжения. От точечного продукта между деформированными линиями $d\mathbf {x} _{1}$ и $d\mathbf {x} _{2}$ у нас есть

$${\begin{aligned}d\mathbf {x} _{1}\cdot d\mathbf {x} _{2}&=dx_{1}dx_{2}\cos \theta _{12}\\\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}&={\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}\cos \theta _{12}\\{\frac {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}{dX_{1}dX_{2}}}&={\frac {{\sqrt {d\mathbf {X} _{1}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{1}}}\cdot {\sqrt {d\mathbf {X} _{2}\cdot \mathbf {F} ^{T}\cdot \mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} _{2}}}}{dX_{1}dX_{2}}}\cos \theta _{12}\\\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}&=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\cos \theta _{12}\end{aligned}}$$

где $\theta _{12}$ это угол между линиями $d\mathbf {x} _{1}$ и $d\mathbf {x} _{2}$ В деформированной конфигурации. Определение $\phi _{12}$ Поскольку деформация сдвига или уменьшение угла между двумя линейными элементами, которые были первоначально перпендикулярны, у нас есть

$$\phi _{12}={\frac {\pi }{2}}-\theta _{12}$$ таким образом, $$\cos \theta _{12}=\sin \phi _{12}$$ затем $$\mathbf {I} _{1}\cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {I} _{2}=\Lambda _{\mathbf {I} _{1}}\Lambda _{\mathbf {I} _{2}}\sin \phi _{12}$$

или

$${\begin{aligned}C_{12}&={\sqrt {C_{11}}}{\sqrt {C_{22}}}\sin \phi _{12}\\2E_{12}+\delta _{12}&={\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\\E_{12}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2E_{11}+1}}{\sqrt {2E_{22}+1}}\sin \phi _{12}\end{aligned}}$$

Условия совместимости

Основная статья: совместимость (механика)

Проблема совместимости в механике континуума включает определение допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических пробелов или перекрытий после деформации. Большинство таких условий применимы к просто связанным телам. Дополнительные условия требуются для внутренних границ размноженных соединенных тел.

Совместимость градиента деформации

Необходимые и достаточные условия для существования совместимого ${\boldsymbol {F}}$ поле над просто связанным телом $${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {0}}$$

Совместимость правого тензора деформации кожи

Необходимые и достаточные условия для существования совместимого ${\boldsymbol {C}}$ поле над просто связанным телом $$R_{\alpha \beta \rho }^{\gamma }:={\frac {\partial }{\partial X^{\rho }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }]-{\frac {\partial }{\partial X^{\beta }}}[\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\gamma }]+\,_{(X)}\Gamma _{\mu \rho }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }-\,_{(X)}\Gamma _{\mu \beta }^{\gamma }\,_{(X)}\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }=0$$ Мы можем показать, что это смешанные компоненты тензора кривизны Riemann -Christoffel . Следовательно, необходимые условия для ${\boldsymbol {C}}$-Подота, что кривизна Римана -Кристоффеля деформации равен нулю.

Совместимость левого тензора деформации косика

Общие условия достаточности для левого тензора деформации в левом косике в трех дименсах были получены Амит Ачарей. Условия совместимости для двухмерных ${\boldsymbol {B}}$ Поля были найдены Джанет Блюм.

Смотрите также

• Бесконечно малый штамм
• Совместимость (механика)
• Криволинейные координаты
• Пиола -Кирххофф Тензор стресса , тензор стресса для конечных деформаций.
• Стрессовые меры
• Деформация распределения

Дальнейшее чтение

• Укроп, Эллис Гарольд (2006). Механика континуума: эластичность, пластичность, вязкоупругость . Германия: CRC Press. ISBN  0-8493-9779-0 .
• Dimitrienko, Yuriy (2011). Нелинейная механика континуума и большие неэластичные деформации . Германия: Спрингер. ISBN  978-94-007-0033-8 .
• Хаттер, Колумбан; Клаус Йонк (2004). Континуум методы физического моделирования . Германия: Спрингер. ISBN  3-540-20619-1 .
• Любарда, Владо А. (2001). Теория эластопластичности . CRC Press. ISBN  0-8493-1138-1 .
• Macosko, CW (1994). Реология: принципы, измерение и применение . VCH Publishers. ISBN  1-56081-579-5 .
• Mase, George E. (1970). Механика континуума . McGraw-Hill Professional. ISBN  0-07-040663-4 .
• Mase, G. Thomas; Джордж Э. Масе (1999). Механика континуума для инженеров (второе изд.). CRC Press. ISBN  0-8493-1855-6 .
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации гетерогенных неэластичных материалов . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83979-3 .
• Рис, Дэвид (2006). Основная инженерная пластичность - введение с инженерным и производственным применением . Баттерворт-Хейнеманн. ISBN  0-7506-8025-3 .

Внешние ссылки

• Заметки проф. Амит Ачарья о совместимости на Imechanica