Модель Максвелла с верхней конвекцией

Модель Максвелла с верхней конвекцией ( UCM ) представляет собой обобщение материала Максвелла на случай больших деформаций с использованием производной по времени с верхней конвекцией . Модель была предложена Джеймсом Г. Олдройдом . Концепция названа в честь Джеймса Клерка Максвелла . Это простейшее материальное уравнение вязкоупругости , независимое от наблюдателя , которое, кроме того, способно воспроизводить первые нормальные напряжения. Таким образом, она представляет собой одну из наиболее фундаментальных моделей реологии .

Модель можно записать как:

\mathbf {T} +\lambda {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}\mathbf {D}

где:

$\mathbf {T}$ – напряжений тензор ;
$\lambda$ – время релаксации;
${\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}$ – производная по времени от тензора напряжений при конвекции сверху:

{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} -\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} )

$\mathbf {v}$ скорость жидкости
$\eta _{0}$ материала – вязкость при установившемся простом сдвиге ;
$\mathbf {D}$ – тензор скорости деформации .

Модель может быть получена либо путем применения концепции инвариантности наблюдателя к материалу Максвелла , либо с помощью двух разных мезоскопических моделей, а именно гантелей Гука. ^{[ 1 ]} или временные сети. ^{[ 2 ]} Несмотря на то, что обе микроскопические модели приводят к верхнему уравнению эволюции напряжения, недавние работы указали на различия при учете флуктуаций напряжения. ^{[ 3 ]}

Случай устойчивого сдвига

В этом случае только две компоненты напряжения сдвига стали отличными от нуля:

T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\,

и

T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\,

где ${\dot {\gamma }}$ это скорость сдвига.

Таким образом, модель Максвелла с верхней конвекцией предсказывает, что для простого сдвига напряжение сдвига будет пропорционально скорости сдвига и первой разности нормальных напряжений ( $T_{11}-T_{22}$ ) пропорциональна квадрату скорости сдвига, вторая разность нормальных напряжений ( $T_{22}-T_{33}$ ) всегда равен нулю. Другими словами, UCM предсказывает появление первой разности нормальных напряжений, но не предсказывает неньютоновское поведение сдвиговой вязкости или вторую разность нормальных напряжений.

Обычно квадратичное поведение первой разности нормальных напряжений и отсутствие второй разности нормальных напряжений является реалистичным поведением расплавов полимеров при умеренных скоростях сдвига, но постоянная вязкость нереалистична и ограничивает удобство использования модели.

Случай запуска устойчивого сдвига

В этом случае только две компоненты напряжения сдвига стали отличными от нуля:

T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)

и

T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\left(1+{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)

Приведенные выше уравнения описывают напряжения, постепенно возрастающие от нуля до установившихся значений. Уравнение применимо только тогда, когда профиль скорости в сдвиговом потоке полностью развит. Тогда скорость сдвига постоянна по высоте канала. Если необходимо рассчитать начальную форму распределения нулевой скорости, необходимо решить полный набор УЧП.

Случай установившегося одноосного растяжения или одноосного сжатия.

В этом случае UCM прогнозирует нормальные напряжения. $\sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}$ рассчитывается по следующему уравнению:

\sigma ={\frac {2\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1-2\lambda {\dot {\epsilon }}}}+{\frac {\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1+\lambda {\dot {\epsilon }}}}

где ${\dot {\epsilon }}$ это скорость удлинения.

Уравнение предсказывает, что вязкость при удлинении приближается к $3\eta _{0}$ (то же, что и для ньютоновских жидкостей ) для случая малой скорости удлинения ( ${\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}$ ) с быстрым деформационным утолщением с установившейся вязкостью, приближающейся к бесконечности при некоторой скорости удлинения ( ${\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}$ ) и с некоторой степенью сжатия ( ${\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}$ ). Такое поведение кажется реалистичным.

Случай небольшой деформации

В случае малой деформации нелинейности, вносимые производной с конвекцией сверху, исчезают, и модель становится обычной моделью материала Максвелла .

Ссылки

^ Оттингер, ХК (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях: инструменты и примеры разработки алгоритмов моделирования (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-58290-5 . ISBN 978-3-540-58353-0 .
^ Ларсон, Рональд Г. (28 января 1999 г.). Структура и реология сложных жидкостей (темы химической инженерии): Ларсон, Рональд Г.: 9780195121971: Amazon.com: Books . Упс США. ISBN 019512197X .
^ Уинтерс, А.; Оттингер, ХК; Вермант, Дж. (2024). «Сравнительный анализ колебаний вязкоупругого напряжения: сравнение временной сетевой и гантельной моделей» . Журнал химической физики . 161 : 014901. arXiv : 2404.19743 . дои : 10.1063/5.0213660 .

Макоско, Кристофер (1993). Реология. Принципы, измерения и приложения . Издательство ВЧ. ISBN 1-56081-579-5 .

[rogerswilliams-1] Оттингер, ХК (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях: инструменты и примеры разработки алгоритмов моделирования (1-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-58290-5 . ISBN 978-3-540-58353-0 .

[2] Ларсон, Рональд Г. (28 января 1999 г.). Структура и реология сложных жидкостей (темы химической инженерии): Ларсон, Рональд Г.: 9780195121971: Amazon.com: Books . Упс США. ISBN 019512197X .

[:0-3] Уинтерс, А.; Оттингер, ХК; Вермант, Дж. (2024). «Сравнительный анализ колебаний вязкоупругого напряжения: сравнение временной сетевой и гантельной моделей» . Журнал химической физики . 161 : 014901. arXiv : 2404.19743 . дои : 10.1063/5.0213660 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]