Проблема падающего кота

Падающий кот, смоделированный как две независимо вращающиеся части, вращается, сохраняя при этом нулевой суммарный угловой момент.

Задача о падающей кошке – это задача, заключающаяся в объяснении основной физики, лежащей в основе наблюдения рефлекса выпрямления кошки .

Хотя постановка проблемы забавна и тривиальна, решение этой проблемы не так просто, как предполагает ее формулировка. Кажущееся противоречие с законом сохранения углового момента разрешается, поскольку кошка не является твердым телом кошки , а вместо этого может изменять свою форму во время падения благодаря гибкому позвоночнику и нефункциональной ключице . Поведение кошки, таким образом, типично для механики деформируемых тел .

С конца 19 века этому феномену было предложено несколько объяснений:

• Кошки полагаются на сохранение углового момента .
• Угол поворота переднего корпуса больше, чем у заднего.
• Динамика падающего кота была объяснена с помощью уравнения Удвадиа-Калабы .

История

Проблема падающего кота вызвала интерес у учёных, в том числе у Джорджа Габриэля Стоукса , Джеймса Клерка Максвелла и Этьена-Жюля Маре . В письме своей жене Кэтрин Мэри Клерк Максвелл Максвелл писал: «В Тринити существует традиция, согласно которой, когда я был здесь, я открыл способ бросать кошку, чтобы она не упала на ноги, и что я бросал кошки выпрыгивали из окон, мне пришлось объяснять, что правильным объектом исследования было выяснить, насколько быстро кошка будет поворачиваться, и что правильный метод - позволить кошке упасть на стол или кровать с высоты примерно двух дюймов, и даже это. затем кошка встает на ноги».

В то время как Максвелл, Стоукс и другие рассматривали проблему падения кошки как простое любопытство, более тщательное исследование этой проблемы было проведено Этьеном-Жюлем Маре , который применил хронофотографию , чтобы запечатлеть падение кошки на пленку с помощью хронофотографического пистолета. Пистолет, способный снимать 12 кадров в секунду, создавал изображения, из которых Марей пришел к выводу, что, поскольку у кошки не было вращательного движения в начале спуска, кошка не «обманывала», используя руку дрессировщика в качестве точки опоры . Это само по себе представляло проблему, поскольку подразумевало, что тело, находящееся в свободном падении, могло приобрести угловой момент. Марей также показал, что сопротивление воздуха не играет никакой роли в облегчении выпрямления тела кошки.

Падающий кот - изображения, появившиеся в журнале Nature в 1894 году, снятые с помощью хронофотографического ружья, устройства, Мареем изобретенного . Редактор журнала Nature написал: «Выражение оскорбленного достоинства, проявленное кошкой в ​​конце первой серии, указывает на отсутствие интереса к научным исследованиям».

Его исследования были впоследствии опубликованы в Comptes Rendus . и краткое изложение его результатов было опубликовано в журнале Nature . Краткое содержание статьи в журнале Nature выглядело следующим образом:

М. Марей думает, что кошка использует инерцию собственной массы, чтобы выпрямиться. Торсионная пара, вызывающая действие мышц позвонка, действует сначала на передние ноги, которые имеют очень небольшую инерцию движения из-за того, что передние лапы укорочены и прижаты к шее. Однако задние ноги, будучи вытянуты и почти перпендикулярны оси тела, обладают моментом инерции, противодействующим движению в направлении, противоположном тому, которое стремится создать торсионная пара. Во второй фазе действия положение ног меняется на противоположное, и именно инерция передней части обеспечивает точку опоры для вращения задней части.

Несмотря на публикацию изображений, многие физики в то время утверждали, что кошка все еще «обманывала», используя руку проводника из исходного положения, чтобы выпрямиться, поскольку в противном случае движение кошки предполагало бы, что твердое тело приобретает угловой момент.

Решение

Проблема была первоначально решена в 1969 году путем моделирования кошки как пары цилиндров (передняя и задняя половины кошки), способных менять свою относительную ориентацию, и была описана в терминах связи в конфигурационном пространстве, которое инкапсулирует относительные движения. из двух частей кошки, разрешенных физикой. Мы можем смоделировать упрощенную «кошку» как два цилиндра, соединенных гибким стержнем посередине. Мы также предполагаем, что гибкий позвоночник не допускает скручивания, поэтому оба цилиндра могут вращаться только на один и тот же угол. Таким образом, конфигурационное пространство системы имеет всего три измерения:

• $\Omega$, общий угол кошки вокруг горизонтальной оси.
• $\theta$, угол изгиба позвоночника
• $\phi$, угол поворота цилиндров

Сформулированная таким образом динамика задачи о падающем коте представляет собой прототипный пример неголономной системы . изучение которых является одной из центральных задач теории управления . Решением задачи о падающем коте является горизонтальная относительно связи (т. е. допустимая физикой) кривая в конфигурационном пространстве с заданными начальной и конечной конфигурациями. Поиск оптимального решения является примером оптимального планирования движения .

На языке физики связь Монтгомери представляет собой определенное поле Янга – Миллса в конфигурационном пространстве и является частным случаем более общего подхода к динамике деформируемых тел, представленной калибровочными полями . после работы Шапере и Вильчека.

См. также

• Колесо импульса
• Проблема с параллельной парковкой

Цитируемые работы

• Арабян, А; Цай, Д. (1998). «Модель распределенного управления рефлексом выпрямления кошки». Биологическая кибернетика . 79 (5): 393–401. дои : 10.1007/s004220050488 . ПМИД   9851020 . S2CID   6443644 .
• Баттерман, Р. (2003). «Падающие кошки, параллельная парковка и поляризованный свет» (PDF) . Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 34 (4): 527–557. Бибкод : 2003ШПМП..34..527Б . дои : 10.1016/s1355-2198(03)00062-5 .
• Кэмпбелл, Льюис; Гарнетт, Уильям (1 января 1999 г.). Жизнь Джеймса Клерка Максвелла . Макмиллан и компания. п. 499. ИСБН  978-140216137-7 .
• Гэ, Синь-шэн; Чен, Ли-цюнь (2007). «Оптимальное управление планированием неголономного движения свободно падающей кошки». Прикладная математика и механика . 28 (5): 601–607 (7). дои : 10.1007/s10483-007-0505-z .
• Кейн, ТР; Шер, член парламента (1969). «Динамическое объяснение феномена падающего кота». Международный журнал твердотельных структур . 5 (7): 663–670. дои : 10.1016/0020-7683(69)90086-9 .
• Марей, Э.Дж. (1894а). «Механика животных: движения, которые выполняют некоторые животные, чтобы приземлиться на ноги, когда их бросают с высоты» . Comptes Rendus de l’Académie des Sciences (на французском языке). 119 (18): 714–717 – через Интернет-архив .
• Марей, Э.Дж. (1894б). «Движения, которые совершают некоторые животные, чтобы приземлиться на ноги, когда их бросают с высоты» . Природа (на французском языке). 119 : 714–717.
• Макдональд, Д.А. (1955). «Как переворачивается падающий кот». Американский журнал физиологии (129): 34–35.
• Макдональд, Дональд (30 июня 1960 г.). «Как кошка падает на ноги?». Новый учёный .
• Монтгомери, Р. (1993). «Калибровочная теория падающего кота». В Эносе, MJ (ред.). Динамика и управление механическими системами (PDF) . Американское математическое общество . стр. 193–218.
• «Фотографии кувыркающегося кота» . Природа . 51 (1308): 80–81. 1894. Бибкод : 1894Природа..51...80. . дои : 10.1038/051080a0 .
• Шапере, Альфред; Вильчек, Франк (1987). «Самодвижение при малых числах Рейнольдса» . Письма о физических отзывах . 58 (20): 2051–2054. Бибкод : 1987PhRvL..58.2051S . doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2051 . ПМИД   10034637 . Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 года.
• Шапере, Альфред; Вильчек, Франк (1989). «Калибровочная кинематика деформируемых тел» . Американский журнал физики . 57 (6): 514–518. Бибкод : 1989AmJPh..57..514S . дои : 10.1119/1.15986 . ПМИД   35142052 .
• Чжэнь, С.; Хуанг, К.; Чжао, Х.; Чен, Ю.Х. (2014). «Почему свободно падающая кошка всегда может безопасно приземлиться на ноги?». Нелинейная динамика . 79 (4): 2237–2250. дои : 10.1007/s11071-014-1741-2 . S2CID   120984496 .

Дальнейшее чтение

• Гбур, Грегори Дж. (22 октября 2019 г.). Падение кошек и фундаментальная физика . Нью-Хейвен, Лондон: Издательство Йельского университета. ISBN  978-0-300-23129-8 .
• Лагранжева редукция и теорема о падающем коте