Решетчатые лепестки

Для антенн с дискретной апертурой (таких как фазированные решетки ), в которых расстояние между элементами превышает половину длины волны, эффект пространственного наложения позволяет когерентно добавлять плоские волны, падающие на решетку под видимыми углами, отличными от желаемого направления, вызывая лепестки решетки . Решетчатые лепестки нежелательны и идентичны основному лепестку. Ощущаемая разница, наблюдаемая в лепестках решетки, обусловлена диаграммой направленности неизотропных антенных элементов, которая по-разному влияет на основные лепестки и лепестки решетки. Для изотропных антенных элементов основные лепестки и решеточные лепестки идентичны.

Определение

В антенных решетках или решетках преобразователей лепесток решетки определяется как «лепесток, отличный от основного лепестка, создаваемый антенной решеткой, когда расстояние между элементами достаточно велико, чтобы обеспечить синфазное сложение излучаемых полей более чем в одном направлении. ." ^{[ 1 ]}

Вывод

Чтобы проиллюстрировать концепцию лепестков решетки, мы будем использовать простой однородный линейный массив . Диаграмма направленности (или коэффициент массива ) любого массива может быть определена как скалярное произведение вектора управления и вектора многообразия массива . Для однородного линейного массива вектор многообразия равен ${\vec {v}}(\psi )=e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }$ , где $\psi$ - это разность фаз между соседними элементами, создаваемая плоской волной, падающей с произвольного направления, $n$ - номер элемента, а $N$ это общее количество элементов. ${\frac {N-1}{2}}$ термин просто центрирует точку отсчета фазы в физическом центре массива. Из простой геометрии, $\psi$ можно показать, что это $\psi ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times cos\theta$ , где $\theta$ определяется как угол падения плоской волны, где $\theta =90^{\circ }$ — плоская волна, падающая ортогонально решетке (от точки прицеливания). ^{[ 2 ]}

Для равномерно взвешенной (неконусной) однородной линейной решетки вектор управления имеет форму, аналогичную вектору многообразия, но «направляется» к целевой фазе, $\psi _{T}$ , которая может отличаться от фактической фазы, $\psi$ падающего сигнала. Результирующий нормализованный коэффициент массива является функцией разности фаз: $\psi _{\Delta }=\psi -\psi _{T}$ . ^{[ 3 ]}

AF={\frac {1}{N}}{\vec {v}}^{H}(\psi _{T}){\vec {v}}(\psi )={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi _{T}}e^{j\left(n-{\frac {N-1}{2}}\right)\psi }={\frac {1}{N}}e^{-j{\frac {N-1}{2}}\psi _{\Delta }}\sum _{n=0}^{N-1}e^{jn\psi _{\Delta }}={\frac {sin\left(N{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}\right)}{Nsin{\frac {\psi _{\Delta }}{2}}}},-\infty <\psi _{\Delta }<\infty

Таким образом, коэффициент массива является периодическим и максимизируется всякий раз, когда числитель и знаменатель равны нулю, согласно правилу Лопиталя . Таким образом, максимум единицы получается для всех целых чисел $n$ , где $\psi _{\Delta }=2\pi n$ . Возвращаясь к нашему определению $\theta$ мы хотим иметь возможность управлять массивом электронным способом по всей видимой области , которая простирается от $\theta =0^{\circ }$ к $\theta =180^{\circ }$ , не создавая решетчатого лепестка. Для этого необходимо, чтобы лепестки решетки находились на расстоянии не менее $180^{\circ }$ . Из определения $\psi$ , мы видим, что максимумы будут возникать всякий раз, когда $2\pi n={\frac {2\pi }{\lambda }}d\times \left(cos\theta -cos\theta _{T}\right)$ . Первый лепесток решетки появится при $|n|=1$ . Для луча, направленного на $\theta _{T}=180^{\circ }$ , мы требуем, чтобы лепесток решетки находился не ближе, чем $\theta =0^{\circ }$ . Таким образом $d={\frac {2\pi \lambda }{2\pi \left(1+1\right)}}={\frac {\lambda }{2}}$ .

Связь с теоремой выборки

В качестве альтернативы можно рассматривать однородную линейную решетку (ULA) как пространственную выборку сигнала в том же смысле, что и временную выборку сигнала. Лепестки решетки идентичны наложению спектров, которое происходит при анализе временных рядов для сигнала с недостаточной дискретизацией. ^{[ 4 ]} Шеннона Согласно теореме о выборке , частота дискретизации должна быть как минимум в два раза выше самой высокой частоты желаемого сигнала, чтобы предотвратить спектральное наложение спектров. Поскольку диаграмма направленности (или коэффициент массива ) линейной решетки представляет собой преобразование Фурье диаграммы направленности элемента, ^{[ 5 ]} теорема выборки применяется напрямую, но в пространственной, а не в спектральной области. Преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) дискретизированного сигнала всегда является периодическим, создавая «копии» спектра с интервалами частоты дискретизации. В пространственной области эти копии представляют собой лепестки решетки. Аналогом радианской частоты во временной области является волновое число , $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ радиан на метр в пространственной области. Поэтому частота пространственной выборки, выраженная в образцах на метр, должна быть равна $\geq 2{\frac {samples}{cycle}}\times {\frac {k{\frac {radians}{meter}}}{2\pi {\frac {radians}{cycle}}}}$ . Интервал отбора проб, обратный частоте отбора проб, в метрах на пробу, должен быть равен $\leq {\frac {\lambda }{2}}$ .

Ссылки

^ IEEE Std 145-2013, «Стандарт IEEE для определений терминов для антенн»
^ Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . стр. 42–53.
^ Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . п. 54.
^ Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . п. 51.
^ Майу, Р.Ж. (2005). Справочник по фазированной антенной решетке . Норвуд, Массачусетс: Artech House. стр. 109–111.

[1] IEEE Std 145-2013, «Стандарт IEEE для определений терминов для антенн»

[2] Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . стр. 42–53.

[3] Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . п. 54.

[4] Ван Трис, Х.Л. Оптимальная обработка массивов . п. 51.

[5] Майу, Р.Ж. (2005). Справочник по фазированной антенной решетке . Норвуд, Массачусетс: Artech House. стр. 109–111.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]