Лемма Брезиса–Либа

В математической области анализа лемма Брезиса -Либа является основным результатом теории меры . Она названа в честь Хаима Брезиса и Эллиота Либа , открывших ее в 1983 году. Лемму можно рассматривать как улучшение в определенных условиях леммы Фату до равенства. Таким образом, он оказался полезен для изучения многих вариационных задач . ^[1]

Лемма и ее доказательство

Утверждение леммы

Пусть $(X, µ)$ — пространство с мерой , и пусть $fn —$ последовательность измеримых комплекснозначных функций на $X$ , сходящихся почти всюду к функции $f$ . Предельная функция $f$ измерима автоматически. Лемма Брезиса–Либа утверждает, что если $p$ — положительное число, то

\lim _{n\to \infty }\int _{X}{\Big |}|f|^{p}-|f_{n}|^{p}+|f-f_{n}|^{p}{\Big |}\,d\mu =0,

при условии, что последовательность $f n$ равномерно ограничена в $L п (Х, м )$ . ^[2] Существенное следствие, которое усиливает лемму Фату применительно к последовательности $| ж п | п$ , это

\int _{X}|f|^{p}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\left(\int _{X}|f_{n}|^{p}\,d\mu -\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\,d\mu \right),

что следует из неравенства треугольника. Это следствие часто принимают за утверждение леммы, хотя более прямого доказательства оно не имеет. ^[3]

Доказательство

Суть доказательства состоит в неравенствах

{\begin{aligned}W_{n}\equiv {\Big |}|f_{n}|^{p}-|f|^{p}-|f-f_{n}|^{p}{\Big |}&\leq {\Big |}|f_{n}|^{p}-|f-f_{n}|^{p}{\Big |}+|f|^{p}\\&\leq \varepsilon |f-f_{n}|^{p}+C_{\varepsilon }|f|^{p}.\end{aligned}}

Следствием этого является то, что $W n - ε| ж - ж п | п$ , сходящееся почти всюду к нулю, ограничено сверху интегрируемой функцией независимо от $n$ . Наблюдение, что

W_{n}\leq \max {\Big (}0,W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}{\Big )}+\varepsilon |f-f_{n}|^{p},

а применение теоремы о доминируемой сходимости к первому члену в правой части показывает, что

\limsup _{n\to \infty }\int _{X}W_{n}\,d\mu \leq \varepsilon \sup _{n}\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\,d\mu .

Конечность верхней границы в правой части при произвольности $ε$ показывает, что левая часть должна быть равна нулю.

Ссылки

Сноски

^ Львы 1985 .
^ Брезис и Либ 1983 , Теорема 2; Богачев 2007 , Предложение 4.7.30; Либ и Лосс 2001 , Теорема 1.9.
^ Брезис и Либ 1983 , Теорема 1; Эванс 1990 , Теорема 1.8; Виллем 1996 , Лемма 1.32.

Источники

V.I. Bogachev. Measure theory. Vol. I. Springer-Verlag, Berlin, 2007. xviii+500 pp. ISBN 978-3-540-34513-8
Хаим Брезис и Эллиот Либ. Связь между поточечной сходимостью функций и сходимостью функционалов. Учеб. амер. Математика. Соц. 88 (1983), вып. 3, 486–490. два : 10.1090/S0002-9939-1983-0699419-3
Лоуренс К. Эванс. Методы слабой сходимости нелинейных уравнений в частных производных. Серия региональных конференций CBMS по математике, 74. Опубликовано для Совета конференции математических наук, Вашингтон, округ Колумбия; Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1990. viii+80 стр. ISBN 0-8218-0724-2
ПЛ Львов. Принцип концентрации-компактности в вариационном исчислении. Предельный случай. I. Преподобный Мат. Ибероамерикана 1 (1985), вып. 1, 145–201.
Эллиот Х. Либ и Майкл Лосс. Анализ. Второе издание. Аспирантура по математике, 14. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2001. xxii+346 стр. ISBN 0-8218-2783-9
Мишель Виллем. Минимаксные теоремы. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x+162 стр. ISBN 0-8176-3913-6

[FOOTNOTELions1985-1] Львы 1985 .

[FOOTNOTEBrézisLieb1983Theorem_2Bogachev2007Proposition_4.7.30LiebLoss2001Theorem_1.9-2] Брезис и Либ 1983 , Теорема 2; Богачев 2007 , Предложение 4.7.30; Либ и Лосс 2001 , Теорема 1.9.

[FOOTNOTEBrézisLieb1983Theorem_1Evans1990Theorem_1.8Willem1996Lemma_1.32-3] Брезис и Либ 1983 , Теорема 1; Эванс 1990 , Теорема 1.8; Виллем 1996 , Лемма 1.32.

[1]

[2]

[3]