Фильтр повышенного косинуса

Фильтр с повышенным косинусом — это фильтр, часто используемый для формирования импульсов в цифровой модуляции из-за его способности минимизировать межсимвольные помехи (ISI). Его название связано с тем, что ненулевая часть частотного спектра в его простейшей форме ( $\beta =1$) — косинусная функция, «поднятая» над $f$ (горизонтальная) ось.

Математическое описание

Частотная характеристика фильтра с повышенным косинусом с различными коэффициентами спада

Импульсная характеристика фильтра с повышенным косинусом с различными коэффициентами спада

Фильтр повышенного косинуса является реализацией фильтра Найквиста нижних частот , т. е. фильтра, который обладает свойством рудиментарной симметрии. Это означает, что его спектр демонстрирует странную симметрию относительно ${\frac {1}{2T}}$, где $T$ – символ-период системы связи.

Его описание в частотной области представляет собой кусочно -определенную функцию , определяемую следующим образом:

$H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

или в терминах хаверкозинусов :

$H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

для

$0\leq \beta \leq 1$

и характеризуется двумя значениями; $\beta$, коэффициент спада и $T$, обратная скорость передачи символов.

Импульсная характеристика такого фильтра дается:

$h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

в терминах нормализованной функции sinc . Вот это "коммуникация синк" $\sin(\pi x)/(\pi x)$ а не математический.

Коэффициент спада

Коэффициент спада , $\beta$, является мерой избыточной полосы пропускания фильтра, т.е. полосы пропускания, занимаемой за пределами полосы Найквиста ${\frac {1}{2T}}$. Некоторые авторы используют $\alpha =\beta$.

Если мы обозначим избыточную полосу пропускания как $\Delta f$, затем:

$\beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f$

где $R_{S}={\frac {1}{T}}$ это скорость передачи символов.

На графике показана амплитудная характеристика как $\beta$ варьируется от 0 до 1 и соответствующим образом влияет на импульсную характеристику . Как можно видеть, уровень пульсаций во временной области увеличивается по мере увеличения $\beta$ уменьшается. Это показывает, что избыточную полосу пропускания фильтра можно уменьшить, но только за счет удлиненной импульсной характеристики.

β = 0

Как $\beta$ приближается к 0, зона спада становится бесконечно узкой, следовательно:

$\lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)$

где $\operatorname {rect} (\cdot )$ — прямоугольная функция , поэтому импульсная характеристика приближается $h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)$. Следовательно, в этом случае он сходится к идеальному фильтру или фильтру с кирпичной стеной .

β = 1

Когда $\beta =1$, ненулевая часть спектра представляет собой чистый приподнятый косинус, что приводит к упрощению:

$H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

или

$H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

Пропускная способность

Полоса пропускания фильтра с приподнятым косинусом чаще всего определяется как ширина ненулевой частотно-положительной части его спектра, т.е.:

$BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)$

Согласно измерениям с помощью анализатора спектра, полоса пропускания радиосигнала B в Гц модулированного сигнала в два раза превышает ширину полосы частот модулирующего сигнала BW (как поясняется в [1]), т.е.:

$B=2BW=R_{S}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)$

Функция автокорреляции

Автокорреляционная : функция приподнятого косинуса выглядит следующим образом

$R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]$

Результат автокорреляции можно использовать для анализа различных результатов смещения выборки при анализе с помощью автокорреляции.

Приложение

Последовательные импульсы повышенного косинуса, демонстрирующие свойство нулевого ISI.

При использовании для фильтрации потока символов фильтр Найквиста обладает свойством устранять ISI, поскольку его импульсная характеристика вообще равна нулю. $nT$ (где $n$ является целым числом), за исключением $n=0$.

Следовательно, если передаваемый сигнал правильно дискретизируется в приемнике, исходные значения символов могут быть полностью восстановлены.

Однако во многих практических системах связи в приемнике используется согласованный фильтр из-за воздействия белого шума . Для нулевого ISI это суммарный отклик фильтров передачи и приема, который должен равняться $H(f)$:

$H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)$

И поэтому :

$|H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}$

Эти фильтры называются фильтрами с корневым косинусом .

Приподнятый косинус — широко используемый фильтр аподизации для волоконных решеток Брэгга .

Ссылки

• Гловер, И.; Грант, П. (2004). Цифровые коммуникации (2-е изд.). Пирсон Эдьюкейшн Лтд. ISBN   0-13-089399-4 .
• Проакис, Дж. (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). МакГроу-Хилл Инк. ISBN   0-07-113814-5 .
• Таварес, Л.М.; Таварес Г.Н. (1998) Комментарии к «Производительности асинхронных систем DS/SSMA с ограниченной полосой пропускания» . IEICE Транс. Коммун., Том. Е81-Б, №9

Внешние ссылки

• Техническая статья под названием «Уход за цифровыми фильтрами формирования импульсов и их питание», первоначально опубликованная в журнале RF Design , написанная Кеном Джентиле.