Критерий Найквиста ISI

Повышенный косинусный отклик соответствует критерию Найквиста ISI. Последовательные импульсы с приподнятым косинусом демонстрируют свойство нулевого ISI между передаваемыми символами в моменты выборки. При t=0 средний импульс достигает максимума, а сумма остальных импульсов равна нулю.

В сфере связи критерий Найквиста ISI описывает условия, которые, если канал связи удовлетворяет их (включая отклики фильтров передачи и приема), не приводят к возникновению межсимвольных помех или ISI. Он предоставляет метод построения функций с ограниченной полосой частот для преодоления эффектов межсимвольной интерференции.

Когда последовательные символы передаются по каналу с помощью линейной модуляции (например, ASK , QAM и т. д.), импульсная характеристика (или, что эквивалентно, частотная характеристика ) канала приводит к расширению передаваемого символа во временной области. Это вызывает межсимвольные помехи, поскольку ранее переданные символы влияют на принятый в данный момент символ, тем самым снижая устойчивость к шуму . Теорема Найквиста связывает это условие во временной области с эквивалентным условием в частотной области .

Критерий Найквиста тесно связан с теоремой выборки Найквиста-Шеннона , но имеет другую точку зрения.

критерий Найквиста

Если обозначить импульсную характеристику канала как $h(t)$ , то условие ответа без ISI можно выразить как:

h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}

для всех целых чисел $n$ , где $T_{s}$ — период символа . Теорема Найквиста гласит, что это эквивалентно:

{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1\quad {\text{for all frequencies }}f

,

где $H(f)$ представляет собой Фурье преобразование $h(t)$ . Это критерий Найквиста ISI.

Этот критерий можно интуитивно понять следующим образом: частотно-сдвинутые реплики $H(f)$ должно составлять в сумме постоянное значение. Это условие выполняется, когда $H(f)$ спектр имеет равномерную симметрию, имеет полосу пропускания, большую или равную $2/T_{s}$ , а его однополосная полоса имеет нечетную симметрию на частоте среза $\pm 1/2T_{s}$ .

На практике этот критерий применяется к фильтрации основной полосы частот, рассматривая последовательность символов как взвешенные импульсы ( дельта-функция Дирака ). Когда фильтры основной полосы в системе связи удовлетворяют критерию Найквиста, символы могут передаваться по каналу с плоской характеристикой в ограниченной полосе частот без ISI. Примерами таких фильтров основной полосы являются фильтр с повышенным косинусом или sinc-фильтр в идеальном случае .

Вывод

Чтобы получить критерий, мы сначала выражаем принятый сигнал через переданный символ и отклик канала. Пусть функция h(t) канала представляет собой импульсную характеристику , x[n] — символы, подлежащие отправке, с периодом символа T _s ; принятый сигнал y(t) будет иметь вид (для простоты шум не учитывается):

y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h(t-nT_{s})

.

Отбирая этот сигнал с интервалом T _s , мы можем выразить y(t) как уравнение дискретного времени:

y[k]=y(kT_{s})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h[k-n]

.

Если мы напишем h[0] член суммы отдельно, мы можем выразить это как:

y[k]=x[k]\cdot h[0]+\sum _{n\neq k}x[n]\cdot h[k-n]

,

и отсюда мы можем заключить, что если ответ h[n] удовлетворяет

h[n]={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}

,

только один переданный символ влияет на полученный y[k] в моменты выборки, тем самым удаляя любую ISI. Это условие временной области для канала без ISI. Теперь мы находим для него эквивалент в частотной области . Начнем с выражения этого условия в непрерывном времени:

h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}

для всех целых чисел $n$ . Умножим такую h(t) на сумму дельта-функции Дирака (импульсов) $\delta (t)$ разделенные интервалами T _s. Это эквивалентно выборке ответа, как указано выше, но с использованием выражения непрерывного времени. Тогда правая часть условия может быть выражена как один импульс в начале координат:

h(t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT_{s})=\delta (t)

Преобразовав Фурье оба члена этого соотношения, получим:

H\left(f\right)*{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1

и

{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1

.

Это критерий ISI Найквиста, и если отклик канала ему удовлетворяет, между различными выборками нет ISI.

См. также

Ссылки

Джон Г. Проакис , « Цифровые коммуникации, 3-е издание », McGraw-Hill Book Co., 1995 . ISBN 0-07-113814-5
Бехзад Разави , « Микроэлектроника РФ », Prentice-Hall, Inc., 1998 . ISBN 0-13-887571-5