Двояковыпуклая оптимизация

Двояковыпуклая оптимизация — это обобщение выпуклой оптимизации, при котором целевая функция и набор ограничений могут быть двояковыпуклыми. Существуют методы, позволяющие найти глобальный оптимум этих задач.

Набор $B\subset X\times Y$ называется двояковыпуклым множеством на $X\times Y$ если для каждого фиксированного $y\in Y$, $B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}$ является выпуклым множеством в $X$ и для каждого фиксированного $x\in X$, $B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}$ является выпуклым множеством в $Y$.

Функция $f(x,y):B\to \mathbb {R}$ называется двояковыпуклой функцией, если зафиксировать $x$, $f_{x}(y)=f(x,y)$ является выпуклым над $Y$ и фиксация $y$, $f_{y}(x)=f(x,y)$ является выпуклым над $X$.

Распространенной практикой решения двояковыпуклой задачи (не гарантирующей глобальную оптимальность решения) является альтернативное обновление $x,y$ исправив один из них и решив соответствующую задачу выпуклой оптимизации.

Обобщение на функции с более чем двумя аргументаминазывается блочной многовыпуклой функцией.Функция $f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R}$является блочным многовыпуклымтогда и только тогда, когда оно выпукло относительно каждого из отдельных аргументовсохраняя при этом все остальные фиксированными.