Инвариантное разложение

Инвариантное разложение — это разложение элементов групп выводов. ${\text{Pin}}(p,q,r)$ на ортогональные коммутирующие элементы. Это также справедливо в их подгруппах, например , в ортогональных , псевдоевклидовых , конформных и классических группах . Поскольку элементы групп контактов представляют собой композицию $k$ ориентированные отражения, инвариантная теорема разложения гласит:

Каждый $k$-отражение можно разложить на ${\textstyle \lceil k/2\rceil }$ коммутационные факторы.

Это называется инвариантным разложением, потому что эти факторы являются инвариантами $k$-отражение $R\in {\text{Pin}}(p,q,r)$. Хорошо известным частным случаем является теорема Шаля , которая утверждает, что любое движение твердого тела в ${\textstyle {\text{SE}}(3)}$ может быть разложено на вращение вокруг одной строки, за которым следует или предшествует перевод вдоль одной строки. И вращение, и перемещение оставляют неизменными две линии: ось вращения и ортогональную ось перемещения. Поскольку и вращения, и перемещения являются двуотражениями, более абстрактная формулировка теоремы гласит: «Каждое четырехкратное отражение можно разложить на коммутирующие двуотражения». В этой форме утверждение справедливо, например, для алгебры пространства-времени ${\textstyle {\text{SO}}(3,1)}$, где любое преобразование Лоренца можно разложить на коммутирующее вращение и повышение.

Бивекторное разложение

Любой бивектор $F$ в геометрической алгебре $\mathbb {R} _{p,q,r}$ общего размера $n=p+q+r$ можно разложить на $k=\lfloor n/2\rfloor$ ортогональные коммутирующие простые бивекторы, удовлетворяющие

$$F=F_{1}+F_{2}\ldots +F_{k}.$$

Определение $\lambda _{i}:=F_{i}^{2}\in \mathbb {C}$, их свойства можно резюмировать как $F_{i}F_{j}=\delta _{ij}\lambda _{i}+F_{i}\wedge F_{j}$ (без суммы). $F_{i}$ затем находятся как решения характеристического полинома

$$0=(F_{1}-F_{i})(F_{2}-F_{i})\cdots (F_{k}-F_{i}).$$

Определение

$$W_{m}={\frac {1}{m!}}\langle F^{m}\rangle _{2m}={\frac {1}{m!}}\,\underbrace {F\wedge F\wedge \ldots \wedge F} _{m\ {\text{times}}}$$и $r=\lfloor k/2\rfloor$, решения имеют вид

$$F_{i}={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{i}^{r}W_{0}+\lambda _{i}^{r-1}W_{2}+\ldots +W_{k}}{\lambda _{i}^{r-1}W_{1}+\lambda _{i}^{r-2}W_{3}+\ldots +W_{k-1}}}\quad &k{\text{ even}},\\[10mu]{\dfrac {\lambda _{i}^{r}W_{1}+\lambda _{i}^{r-1}W_{3}+\ldots +W_{k}}{\lambda _{i}^{r}W_{0}+\lambda _{i}^{r-1}W_{2}+\ldots +W_{k-1}}}&k{\text{ odd}}.\end{cases}}$$

Значения $\lambda _{i}$ впоследствии находятся путем возведения этого выражения в квадрат и перестановки, что дает полином

$${\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{k}\langle W_{m}^{2}\rangle _{0}(-\lambda _{i})^{k-m}\\[5mu]&=(F_{1}^{2}-\lambda _{i})(F_{2}^{2}-\lambda _{i})\cdots (F_{k}^{2}-\lambda _{i}).\end{aligned}}$$

Допуская сложные значения для $\lambda _{i}$, противоположный пример Марселя Рисса действительно может быть решен. Это решение в замкнутой форме для инвариантного разложения справедливо только для собственных значений. $\lambda _{i}$ с алгебраической кратностью 1. Для вырожденного $\lambda _{i}$ инвариантное разложение все еще существует, но его нельзя найти с помощью решения в замкнутой форме.

Экспоненциальная карта

А $2k$-отражение $R\in {\text{Spin}}(p,q,r)$ можно записать как $R=\exp(F)$ где $F\in {\mathfrak {spin}}(p,q,r)$ является бивектором и, следовательно, допускает факторизацию

$$R=e^{F}=e^{F_{1}}e^{F_{2}}\cdots e^{F_{k}}.$$

Таким образом, инвариантное разложение дает формулу замкнутой формы для экспонент, поскольку каждое $F_{i}$ квадраты в скаляр и, таким образом, следует формуле Эйлера:

$$R_{i}=e^{F_{i}}={\cosh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}+{\frac {{\sinh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}}{\sqrt {\lambda _{i}}}}F_{i}.$$

Тщательно оценивая лимит $\lambda _{i}\to 0$ дает

$$R_{i}=e^{F_{i}}=1+F_{i},$$

и поэтому переводы также включены.

Факторизация ротора

Учитывая $2k$-отражение $R\in {\text{Spin}}(p,q,r)$ мы хотели бы найти факторизацию в $R_{i}=\exp(F_{i})$. Определение простого бивектора

$$t(F_{i}):={\frac {{\tanh }{\bigl (}{\sqrt {\lambda _{i}}}{\bigr )}}{\sqrt {\lambda _{i}}}}F_{i},$$

где $\lambda _{i}=F_{i}^{2}$. Эти бивекторы можно найти непосредственно, используя приведенное выше решение для бивекторов, заменив

$$W_{m}=\langle R\rangle _{2m}{\big /}\langle R\rangle _{0}$$

где $\langle R\rangle _{2m}$ выбирает класс $2m$ часть $R$. После бивекторов $t(F_{i})$ были найдены, $R_{i}$ находится непосредственно как

$$R_{i}={\frac {1+t(F_{i})}{\sqrt {1-t(F_{i})^{2}}}}.$$

Главный логарифм

После разложения $R\in {\text{Spin}}(p,q,r)$ в $R_{i}=\exp(F_{i})$ был найден, главный логарифм каждого простого ротора определяется выражением

$$F_{i}={\text{Log}}(R_{i})={\begin{cases}{\dfrac {\langle R_{i}\rangle _{2}}{\textstyle {\sqrt {\langle R_{i}\rangle {\vphantom {)}}_{2}^{2}}}}}\;{\text{arccosh}}(\langle R_{i}\rangle )\quad &\lambda _{i}^{2}\neq 0,\\[5mu]\langle R_{i}\rangle _{2}&\lambda _{i}^{2}=0.\end{cases}}$$

и, следовательно, логарифм $R$ дается

$${\text{Log}}(R)=\sum _{i=1}^{k}{\text{Log}}(R_{i}).$$

Общие элементы группы выводов

До сих пор мы рассматривали только элементы ${\text{Spin}}(p,q,r)$, которые $2k$- размышления. Чтобы распространить инвариантное разложение на $(2k+1)$-размышления $P\in {\text{Pin}}(p,q,r)$, мы используем эту векторную часть $r=\langle P\rangle _{1}$ является отражением, которое уже коммутирует с отражением и ортогонально ему. $2k$-отражение $R=r^{-1}P=Pr^{-1}$. Тогда задача сводится к нахождению разложения $R$ используя метод, описанный выше.

Инвариантные бивекторы

Бивекторы $F_{i}$ являются инвариантами соответствующих $R\in {\text{Spin}}(p,q,r)$ поскольку они коммутируют с ним и, следовательно, подвергаются групповому сопряжению

$$RF_{i}R^{-1}=F_{i}.$$

Возвращаясь к примеру теоремы Шасла , приведенному во введении, движение винта в 3D оставляет неизменными две линии. $F_{1}$ и $F_{2}$, которые соответствуют оси вращения и ортогональной оси трансляции на горизонте. Пока все пространство совершает винтовое движение, эти две оси остаются у него неизменными.

История

Инвариантное разложение берет свое начало в утверждении Марселя Рисса о бивекторах. :

Может ли любой бивектор $F$ разложить в прямую сумму взаимно ортогональных простых бивекторов?

Математически это означало бы, что для данного бивектора $F$ в $n$ размерной геометрической алгебры, должно быть возможно найти максимум ${\textstyle k=\lfloor n/2\rfloor }$ бивекторы $F_{i}$, такой, что ${\textstyle F=\sum _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }F_{i}}$, где $F_{i}$ удовлетворить $F_{i}\cdot F_{j}=[F_{i},F_{j}]=0$ и должен возводиться в скаляр $\lambda _{i}:=F_{i}^{2}\in \mathbb {R}$. Марсель Рис привел несколько примеров, которые приводят к этой гипотезе, а также один (кажущийся) противоположный пример. Первое более общее решение гипотезы в геометрических алгебрах. $\mathbb {R} _{n,0,0}$ был предоставлен Дэвидом Хестенсом и Гарретом Собчиком . Однако это решение ограничивалось чисто евклидовыми пространствами. В 2011 году решение в $\mathbb {R} _{4,1,0}$ (3DCGA) был опубликован Лео Дорстом и Робертом Яном Валкенбургом и был первым решением с лоренцевой сигнатурой. Также в 2011 году Чарльз Ганн первым дал решение в вырожденной метрике. $\mathbb {R} _{3,0,1}$. Это дало первое представление о том, что этот принцип может быть независимым от метрики. Затем, в 2021 году, Мартин Рулфс в своей докторской диссертации предложил полное решение в замкнутой форме, независимое от метрики и размерностей. А поскольку бивекторы в геометрической алгебре $\mathbb {R} _{p,q,r}$ образуют алгебру Ли ${\mathfrak {spin}}(p,q,r)$, диссертация также была первой, кто использовал это для разложения элементов ${\text{Spin}}(p,q,r)$ группы на ортогональные коммутирующие факторы, каждый из которых следует формуле Эйлера, и представить экспоненциальные и логарифмические функции в замкнутой форме для этих групп. Впоследствии в статье Мартина Рулфса и Стивена Де Кенинка инвариантное разложение было расширено и теперь включает элементы ${\text{Pin}}(p,q,r)$, не просто ${\text{Spin}}(p,q,r)$и прямое разложение элементов ${\text{Spin}}(p,q,r)$ без необходимости проходить через ${\mathfrak {spin}}(p,q,r)$ был найден.