Хана – Экстона Бесселя q -функция

В математике Хана-Экстона q -функция Бесселя или третья Джексона q -функция Бесселя является q -аналогом функции Бесселя и удовлетворяет q -разностному уравнению Хана-Экстона (Swarttouw ( 1992 )). Эта функция была введена Ханом ( 1953 ) в частном случае и Экстоном ( 1983 ) в целом.

-Функция Хана – Экстона q Бесселя имеет вид

$J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {x^{\nu }(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}q^{k(k+1)/2}x^{2k}}{(q^{\nu +1};q)_{k}(q;q)_{k}}}={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}x^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}).$

$\phi$ — основная гипергеометрическая функция .

Характеристики

Нули

Кёлинк и Свартау доказали, что $J_{\nu }^{(3)}(x;q)$ имеет бесконечное число действительных нулей. Они также доказали, что для $\nu >-1$ все ненулевые корни $J_{\nu }^{(3)}(x;q)$ реальны (Koelink и Swarttouw ( 1994 )). Более подробную информацию см. в Abreu, Bustoz & Cardoso (2003) . Нули q -функции Хана-Экстона появляются в дискретном аналоге задачи Даниэля Бернулли о свободных колебаниях цепи с кусковой нагрузкой ( Хан (1953) , Экстон (1983) ).

Производные

Для (обычной) производной и q -производной $J_{\nu }^{(3)}(x;q)$см. Koelink and Swarttouw ( 1994 ). Симметричная q -производная $J_{\nu }^{(3)}(x;q)$ описано у Cardoso ( 2016 ).

Рекуррентное соотношение

-Функция Хана-Экстона q имеет следующее рекуррентное соотношение (см. Swarttouw ( 1992 )):

$J_{\nu +1}^{(3)}(x;q)=\left({\frac {1-q^{\nu }}{x}}+x\right)J_{\nu }^{(3)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(3)}(x;q).$

Альтернативные представления

Интегральное представление

-Функция Хана-Экстона q имеет следующее интегральное представление (см. Исмаил и Чжан ( 2018 )):

$J_{\nu }^{(3)}(z;q)={\frac {z^{\nu }}{\sqrt {\pi \log q^{-2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix},-q^{1/2}z^{2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.$

$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty }.$

Гипергеометрическое представление

-Функция Хана-Экстона q имеет следующее гипергеометрическое представление (см. Daalhuis ( 1994 )):

$J_{\nu }^{(3)}(x;q)=x^{\nu }{\frac {(x^{2}q;q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(0;x^{2}q;q,q^{\nu +1}).$

Это быстро сходится при $x\to \infty$. Это также асимптотическое разложение для $\nu \to \infty$.

Ссылки

• Абреу, LD; Бустоз, Дж.; Кардозо, Дж.Л. (2003), «Корни третьей q -функции Джексона Бесселя», Международный журнал математики и математических наук , 2003 (67): 4241–4248, doi : 10.1155/S016117120320613X , hdl : 10316/110959
• Кардосо, Дж.Л. (2016), «Некоторые свойства третьей q -функции Джексона Бесселя», Analysis Mathematica , 42 (4): 323–337, doi : 10.1007/s10476-016-0402-8 , S2CID   126278001
• Даалхейс, ABO (1994), "Асимптотические разложения для q -гамма, q -экспоненциальных и q -функций Бесселя". , Журнал математического анализа и приложений , 186 (3): 896–913, doi : 10.1006/jmaa.1994.1339
• Экстон, Гарольд (1983), q -гипергеометрические функции и приложения , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN  978-0-85312-491-7 , МР   0708496
• Хан, Вольфганг (1953), «Механическая интерпретация геометрическо-разностного уравнения», Журнал прикладной математики и механики (на немецком языке), 33 (8–9): 270–272, Бибкод : 1953ZaMM...33..270H , doi : 10.1002/замм.19530330811 , ISSN   0044-2267 , Збл   0051.15502
• Исмаил, MEH; Чжан, Р. (2018), «Интегральные и серийные представления q -полиномов и функций: Часть I», Анализ и приложения , 16 (2): 209–281, arXiv : 1604.08441 , doi : 10.1142/S0219530517500129 , S2CID   119142457
• Кёлинк, ХТ; Свартау, Рене Ф. (1994), «О нулях q-функции Хана-Экстона - Бесселя и связанных с ней q -полиномах Ломмеля», Журнал математического анализа и приложений , 186 (3): 690–710, arXiv : math/ 9703215 , Бибкод : 1997math......3215K , doi : 10.1006/jmaa.1994.1327 , S2CID   14382540
• Свартау, Рене Ф. (1992), «Теорема сложения и некоторые формулы произведения для q -функций Хана-Экстона-Бесселя», Canadian Journal of Mathematics , 44 (4): 867–879, doi : 10.4153/CJM-1992- 052-6 , ISSN   0008-414X , МР   1178574
• Свартау, Рене Ф. (1992), -функция Хана-Экстона « q -Бесселя » , докторская диссертация, Делфтский технический университет