Джексона Бесселя q -функция

В математике Джексона q -функция Бесселя (или базовая функция Бесселя ) — один из трех q -аналогов функции Бесселя, введенной Джексоном ( 1906a , 1906b , 1905a , 1905b ). Третья q -функция Джексона-Бесселя аналогична Хана-Экстона q -функции .

Определение

Три q -функции Джексона Бесселя даются через символ q -Поххаммера и базовую гипергеометрическую функцию $\phi$ к

$J_{\nu }^{(1)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{2}\phi _{1}(0,0;q^{\nu +1};q,-x^{2}/4),\quad |x|<2,$

$J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{0}\phi _{1}(;q^{\nu +1};q,-x^{2}q^{\nu +1}/4),\quad x\in \mathbb {C} ,$

$J_{\nu }^{(3)}(x;q)={\frac {(q^{\nu +1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }{}_{1}\phi _{1}(0;q^{\nu +1};q,qx^{2}/4),\quad x\in \mathbb {C} .$

Их можно свести к функции Бесселя непрерывным пределом:

$\lim _{q\to 1}J_{\nu }^{(k)}(x(1-q);q)=J_{\nu }(x),\ k=1,2,3.$

Существует формула связи между первой и второй q -функцией Джексона Бесселя ( Gasper & Rahman (2004) ):

$J_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }J_{\nu }^{(1)}(x;q),\ |x|<2.$

Для целочисленного порядка q -функции Бесселя удовлетворяют

$J_{n}^{(k)}(-x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} ,\ k=1,2,3.$

Характеристики

Отрицательный целочисленный порядок

Используя отношения ( Гаспер и Рахман (2004) ):

$(q^{m+1};q)_{\infty }=(q^{m+n+1};q)_{\infty }(q^{m+1};q)_{n},$

$(q;q)_{m+n}=(q;q)_{m}(q^{m+1};q)_{n},\ m,n\in \mathbb {Z} ,$

мы получаем

$J_{-n}^{(k)}(x;q)=(-1)^{n}J_{n}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.$

Нули

Хан упомянул, что $J_{\nu }^{(2)}(x;q)$ имеет бесконечно много действительных нулей ( Хан ( 1949 )). Исмаил доказал, что для $\nu >-1$ все ненулевые корни $J_{\nu }^{(2)}(x;q)$ реальны ( Исмаил ( 1982 )).

Отношение q -функций Бесселя

Функция $-ix^{-1/2}J_{\nu +1}^{(2)}(ix^{1/2};q)/J_{\nu }^{(2)}(ix^{1/2};q)$ является полностью монотонной функцией ( Исмаил ( 1982 )).

Рекуррентные отношения

Первая и вторая q -функции Джексона Бесселя имеют следующие рекуррентные соотношения (см. Исмаил (1982) и Гаспер и Рахман (2004) ):

$q^{\nu }J_{\nu +1}^{(k)}(x;q)={\frac {2(1-q^{\nu })}{x}}J_{\nu }^{(k)}(x;q)-J_{\nu -1}^{(k)}(x;q),\ k=1,2.$

$J_{\nu }^{(1)}(x{\sqrt {q}};q)=q^{\pm \nu /2}\left(J_{\nu }^{(1)}(x;q)\pm {\frac {x}{2}}J_{\nu \pm 1}^{(1)}(x;q)\right).$

Неравенства

Когда $\nu >-1$, вторая q -функция Джексона Бесселя удовлетворяет: $\left|J_{\nu }^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-{\sqrt {q}};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{\nu }\exp \left\{{\frac {\log \left(|z|^{2}q^{\nu }/4\right)}{2\log q}}\right\}.$(см. Чжан ( 2006 ).)

Для $n\in \mathbb {Z}$, $\left|J_{n}^{(2)}(z;q)\right|\leq {\frac {(-q^{n+1};q)_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\left({\frac {|z|}{2}}\right)^{n}(-|z|^{2};q)_{\infty }.$(см. Кёлинк ( 1993 ).)

Генерирующая функция

Следующие формулы являются q -аналогом производящей функции для функции Бесселя (см. Gasper & Rahman (2004) ):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }e_{q}(xt/2)e_{q}(-x/2t),$

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}J_{n}^{(3)}(x;q)=e_{q}(xt/2)E_{q}(-qx/2t).$

$e_{q}$ – q -экспоненциальная функция.

Альтернативные представления

Интегральные представления

Вторая q -функция Джексона Бесселя имеет следующие интегральные представления (см. Rahman (1987) и Ismail & Zhang (2018a) ):

$J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(q^{2\nu };q)_{\infty }}{2\pi (q^{\nu };q)_{\infty }}}(x/2)^{\nu }\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\left(e^{2i\theta },e^{-2i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{i\theta },-{\frac {ixq^{(\nu +1)/2}}{2}}e^{-i\theta };q\right)_{\infty }}{(e^{2i\theta }q^{\nu },e^{-2i\theta }q^{\nu };q)_{\infty }}}\,d\theta ,$

$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n};q)_{\infty }:=(a_{1};q)_{\infty }(a_{2};q)_{\infty }\cdots (a_{n};q)_{\infty },\ \Re \nu >0,$

где $(a;q)_{\infty }$является символом q -Похгаммера . Это представление сводится к интегральному представлению функции Бесселя в пределе $q\to 1$.

$J_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\sqrt {2\pi \log q^{-1}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left({\frac {q^{\nu +1/2}z^{2}e^{ix}}{4}};q\right)_{\infty }\exp \left({\frac {x^{2}}{\log q^{2}}}\right)}{(q,-q^{\nu +1/2}e^{ix};q)_{\infty }}}\,dx.$

Гипергеометрические представления

Вторая q -функция Джексона Бесселя имеет следующие гипергеометрические представления (см. Koelink ( 1993 ), Chen, Ismail и Muttalib ( 1994 )):

$J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }}{(q;q)_{\infty }}}\ _{1}\phi _{1}(-x^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}),$

$J_{\nu }^{(2)}(x;q)={\frac {(x/2)^{\nu }({\sqrt {q}};q)_{\infty }}{2(q;q)_{\infty }}}[f(x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)+f(-x/2,q^{(\nu +1/2)/2};q)],\ f(x,a;q):=(iax;{\sqrt {q}})_{\infty }\ _{3}\phi _{2}\left({\begin{matrix}a,&-a,&0\\-{\sqrt {q}},&iax\end{matrix}};{\sqrt {q}},{\sqrt {q}}\right).$

Асимптотическое разложение можно получить как непосредственное следствие второй формулы.

О других гипергеометрических представлениях см. Rahman (1987) .

Модифицированные q -функции Бесселя

q - аналог модифицированных функций Бесселя определяется с помощью q- функции Джексона Бесселя ( Исмаил (1981) и Ольшанецкий и Рогов (1995) ):

$I_{\nu }^{(j)}(x;q)=e^{i\nu \pi /2}J_{\nu }^{(j)}(x;q),\ j=1,2.$

$K_{\nu }^{(j)}(x;q)={\frac {\pi }{2\sin(\pi \nu )}}\left\{I_{-\nu }^{(j)}(x;q)-I_{\nu }^{(j)}(x;q)\right\},\ j=1,2,\ \nu \in \mathbb {C} -\mathbb {Z} ,$

$K_{n}^{(j)}(x;q)=\lim _{\nu \to n}K_{\nu }^{(j)}(x;q),\ n\in \mathbb {Z} .$

Существует формула связи между модифицированными q-функциями Бесселя:

$I_{\nu }^{(2)}(x;q)=(-x^{2}/4;q)_{\infty }I_{\nu }^{(1)}(x;q).$

Информацию о статистических приложениях см. в Kemp (1997) .

Рекуррентные отношения

Используя рекуррентное соотношение q -функций Джексона Бесселя и определение модифицированных q -функций Бесселя, можно получить следующее рекуррентное соотношение ( $K_{\nu }^{(j)}(x;q)$ также удовлетворяет тому же соотношению) ( Исмаил (1981) ):

$q^{\nu }I_{\nu +1}^{(j)}(x;q)={\frac {2}{z}}(1-q^{\nu })I_{\nu }^{(j)}(x;q)+I_{\nu -1}^{(j)}(x;q),\ j=1,2.$

Другие рекуррентные отношения см. в Olshanetsky & Rogov (1995) .

Представление непрерывной дроби

Отношения модифицированных q -функций Бесселя образуют цепную дробь ( Исмаил (1981) ):

${\frac {I_{\nu }^{(2)}(z;q)}{I_{\nu -1}^{(2)}(z;q)}}={\cfrac {1}{2(1-q^{\nu })/z+{\cfrac {q^{\nu }}{2(1-q^{\nu +1})/z+{\cfrac {q^{\nu +1}}{2(1-q^{\nu +2})/z+\ddots }}}}}}.$

Альтернативные представления

Гипергеометрические представления

Функция $I_{\nu }^{(2)}(z;q)$ имеет следующее представление ( Исмаил и Чжан (2018b) ):

$I_{\nu }^{(2)}(z;q)={\frac {(z/2)^{\nu }}{(q,q)_{\infty }}}{}_{1}\phi _{1}(z^{2}/4;0;q,q^{\nu +1}).$

Интегральные представления

Модифицированные q -функции Бесселя имеют следующие интегральные представления ( Исмаил (1981) ):

$I_{\nu }^{(2)}(z;q)=\left(z^{2}/4;q\right)_{\infty }\left({\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \nu \theta \,d\theta }{\left(e^{i\theta }z/2;q\right)_{\infty }\left(e^{-i\theta }z/2;q\right)_{\infty }}}-{\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t}z/2;q\right)_{\infty }}}\right),$

$K_{\nu }^{(1)}(z;q)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\nu t}\,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}},\ |\arg z|<\pi /2,$

$K_{\nu }^{(1)}(z;q)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\cosh \nu \,dt}{\left(-e^{t/2}z/2;q\right)_{\infty }\left(-e^{-t/2}z/2;q\right)_{\infty }}}.$

См. также

• q -полиномы Бесселя

Ссылки

• Чен, Ян; Исмаил, Мурад Э.Х.; Мутталиб, К.А. (1994), «Асимптотика основных функций Бесселя и q полиномов -Лагерра», Журнал вычислительной и прикладной математики , 54 (3): 263–272, doi : 10.1016/0377-0427(92)00128-v
• Гаспер, Г.; Рахман, М. (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Хан, Вольфганг (1949), «Об ортогональных полиномах, удовлетворяющих q-разностным уравнениям», Mathematical News , 2 (1–2): 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN   0025-584X , MR   0030647
• Исмаил, Мурад Э.Х. (1981), «Основные функции и полиномы Бесселя», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454–468, doi : 10.1137/0512038
• Исмаил, Мурад Э.Х. (1982), «Нули основных функций Бесселя, функции J _{ν+ ax} ( x ) и связанные с ними ортогональные полиномы», Журнал математического анализа и приложений , 86 (1): 1–19, doi : 10.1016/0022-247X(82)90248-7 , ISSN   0022-247X , MR   0649849
• Исмаил, MEH; Zhang, R. (2018a), «Интегральные и последовательные представления Q -полиномиальных и функций: Часть I», Анализ и приложения , 16 (2): 209–281, Arxiv : 1604.08441 , doi : 10.1142/s0219530517500129 , s2cid   119142457777
• Исмаил, MEH; Чжан Р. (2018b), « q -функции Бесселя и тождества типов Роджерса-Рамануджана», Proceedings of the American Mathematical Society , 146 (9): 3633–3646, arXiv : 1508.06861 , doi : 10.1090/proc/13078 , S2CID   119721248
• Джексон, Ф.Х. (1906a), «I. — Об обобщенных функциях Лежандра и Бесселя», Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (1): 1–28, doi : 10.1017/S0080456800080017
• Джексон, Ф.Х. (1906b), «VI. — Теоремы, относящиеся к обобщению функции Бесселя» , Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (1): 105–118, doi : 10.1017/S0080456800080078
• Джексон, Ф.Х. (1906c), «XVII. — Теоремы, относящиеся к обобщению функции Бесселя» , Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 (2): 399–408, doi : 10.1017/s0080456800034475 , JFM   36.0513.02
• Джексон, Ф.Х. (1905a), «Применение основных чисел к функциям Бесселя и Лежандра» , Труды Лондонского математического общества , 2, 2 (1): 192–220, doi : 10.1112/plms/s2-2.1.192
• Джексон, Ф.Х. (1905b), «Применение основных чисел к функциям Бесселя и Лежандра (вторая статья)» , Труды Лондонского математического общества , 2, 3 (1): 1–23, doi : 10.1112/plms/s2- 3.1.1
• Кемп, AW (1997), «О модифицированных функциях q-Бесселя и некоторых статистических приложениях», в Н. Балакришнане (редактор), « Достижения в области комбинаторных методов и приложений к теории вероятностей и статистике» , стр. 451–463, doi : 10.1007/ 978-1-4612-4140-9_27 , ISBN  978-1-4612-4140-9 , S2CID   124998083
• -функций Бесселя Джексона Кёлинк, Х.Т. (1993), «Соотношения ортогональности Хансена-Ломмеля для q », Журнал математического анализа и приложений , 175 (2): 425–437, doi : 10.1006/jmaa.1993.1181
• Ольшанецкий, М.А.; Рогов В.Б. (1995), «Модифицированные q -функции Бесселя и q -функции Бесселя-Макдональда», arXiv : q-alg/9509013
• Рахман, М. (1987), «Интегральное представление и некоторые свойства преобразования q -функций Бесселя», Журнал математического анализа и приложений , 125 : 58–71, doi : 10.1016/0022-247x(87)90164-8
• Чжан, Р. (2006), «Асимптотика Планшереля-Ротаха для q -рядов», arXiv : math/0612216