Точка разреза

В топологии точка разреза — это точка связного пространства , удаление которой приводит к разъединению результирующего пространства. Если удаление точки не приводит к образованию несвязных пространств, такая точка называется неразрезанной точкой .

Например, каждая точка прямой является точкой разреза, а ни одна точка окружности не является точкой разреза.

Точки разреза полезны для определения того, гомеоморфны ли два связных пространства , путем подсчета количества точек разреза в каждом пространстве. Если два пространства имеют разное количество точек разреза, они не гомеоморфны. Классический пример — использование точек разреза, чтобы показать, что линии и окружности не гомеоморфны.

Точки разреза также полезны при описании топологических континуумов — класса пространств, которые сочетают в себе свойства компактности и связности и включают в себя множество знакомых пространств, таких как единичный интервал , круг и тор .

Определение

Формальные определения

Точка разреза связного X T ₁ топологического пространства X - это точка p в X такая, что - { p } несвязно. Точка, не являющаяся точкой разреза, называется точкой неразрыва .

Непустое связное топологическое пространство X называется пространством разрезов , если каждая точка в X является точкой разреза X.

Основные примеры

[ Замкнутый отрезок a,b] имеет бесконечное количество точек разреза. Все точки, кроме его конечных точек, являются точками разреза, а конечные точки {a,b} — неразрезными точками.
Открытый интервал (a,b) также имеет бесконечное количество точек разреза, как и замкнутые интервалы. Поскольку открытые интервалы не имеют конечных точек, у них нет неразрезанных точек.
У окружности нет разрезов, и отсюда следует, что каждая точка окружности является неразрезанной точкой.

Обозначения

Разрез X — это набор {p,U,V}, где p — точка разреза X, U и V образуют разделение X-{p}.
Также можно записать как X\{p}=U|V.

Теоремы

Точки разреза и гомеоморфизмы

Точки разреза не обязательно сохраняются при непрерывных функциях . Например: f : [0, 2 $π$ ] → R ², заданный выражением f ( x ) = (cos x , sin x ). Каждая точка интервала (кроме двух конечных точек) является точкой разреза, но f(x) образует круг, не имеющий точек разреза.
Разрезы сохраняются при гомеоморфизмах. Следовательно, точка разреза является топологическим инвариантом .

Точки разреза и континуумы

Каждый континуум (компактное связное хаусдорфово пространство ) с более чем одной точкой имеет как минимум две неразрезанные точки. В частности, каждое открытое множество, образующее разделение результирующего пространства, содержит хотя бы одну неразрезанную точку.
Любой континуум, имеющий ровно две неразрезанные точки, гомеоморфен единичному интервалу.
Если K — континуум с точками a, b и K-{a, b} не связен, то K гомеоморфен единичной окружности.

Топологические свойства пространств разрезов

Пусть X — связное пространство, а x — точка разреза в X такая, что X\{x}=A|B. Тогда {x} либо открыт , либо закрыт . если {x} открыт, A и B закрыты. Если {x} закрыт, A и B открыты.
Пусть X — пространство разрезов. Множество замкнутых точек X бесконечно.

Неприводимые разрезные пространства

Определения

Пространство разрезов неприводимо , если ни одно из его собственных подмножеств не является пространством разрезов.

Линия Халимского : Пусть $\mathbb {Z}$ быть набором целых чисел и $B=\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}$ где $B$ является основой топологии на $\mathbb {Z}$ . Линия Халимского – это набор $\mathbb {Z}$ наделен этой топологией. Это пространство точки разреза. Более того, оно нередуцируемо.

Теорема

Топологическое пространство $X$ является неприводимым пространством разрезов тогда и только тогда, когда X гомеоморфно прямой Халимского.

См. также

Точка разреза (теория графов)

Ссылки

Хэтчер, Аллен, Заметки по вводной топологии множества точек , стр. 20–21.
Хонари, Б.; Бахрампур, Ю. (1999), «Пространства разрезов» (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 127 (9): 2797–2803, doi : 10.1090/s0002-9939-99-04839-x
Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 . (Первоначально опубликовано издательством Addison-Wesley Publishing Company, Inc. в 1970 году.)