Кулоновское столкновение

Кулоновское столкновение — это бинарное упругое столкновение двух заряженных частиц, взаимодействующих посредством собственного электрического поля . Как и в случае с любым законом обратных квадратов , результирующие траектории сталкивающихся частиц представляют собой гиперболическую кеплерову орбиту . Этот тип столкновений распространен в плазме, где типичная кинетическая энергия частиц слишком велика, чтобы вызвать значительное отклонение от начальных траекторий сталкивающихся частиц, и вместо этого рассматривается кумулятивный эффект многих столкновений. На важность кулоновских столкновений впервые указал Лев Ландау в 1936 году. который также вывел соответствующее кинетическое уравнение, известное как кинетическое уравнение Ландау .

Упрощенная математическая обработка плазмы.

В плазме кулоновское столкновение редко приводит к большому отклонению. Однако совокупный эффект от множества столкновений под малыми углами часто превышает эффект от нескольких столкновений под большими углами, поэтому поучительно рассмотреть динамику столкновений в пределе небольших отклонений.

Мы можем рассматривать электрон с зарядом $-e$ и масса $m_{\text{e}}$ прохождение неподвижного иона с зарядом $+Ze$ и гораздо большую массу на расстоянии $b$ со скоростью $v$. Перпендикулярная сила $Ze^{2}/4\pi \epsilon _{0}b^{2}$ при самом близком сближении и продолжительность встречи составляет около $b/v$. Произведение этих выражений, разделенное на массу, представляет собой изменение перпендикулярной скорости:

$\Delta m_{\text{e}}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}$

Обратите внимание, что угол отклонения пропорционален $1/v^{2}$. Быстрые частицы «скользкие» и поэтому доминируют во многих процессах переноса. Эффективность взаимодействий с согласованием скоростей также является причиной того, что продукты термоядерного синтеза имеют тенденцию нагревать электроны, а не (как хотелось бы) ионы. Если присутствует электрическое поле, более быстрые электроны испытывают меньшее сопротивление и становятся еще быстрее в процессе «убегания».

При прохождении через поле ионов с плотностью $n$, электрон будет иметь много таких встреч одновременно с различными параметрами удара (расстоянием до иона) и направлениями. Кумулятивный эффект можно описать как диффузию перпендикулярного импульса. Соответствующая константа диффузии находится путем интегрирования квадратов отдельных изменений импульса. Частота столкновений с прицельным параметром между $b$ и $(b+\mathrm {d} b)$ является $nv(2\pi b\mathrm {d} b)$, поэтому константа диффузии определяется выражением

$D_{v\perp }=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}$

Очевидно, что интеграл расходится как в сторону малых, так и в сторону больших прицельных параметров. Расхождение при малых прицельных параметрах явно нефизично, поскольку в использованных здесь предположениях конечный перпендикулярный импульс не может принять значение, превышающее начальный импульс. Установка приведенной выше оценки для $\Delta m_{\text{e}}v_{\perp }$ равный $mv$, мы находим, что нижняя граница прицельного параметра составляет около

$b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{\text{e}}v^{2}}}$

Мы также можем использовать $\pi b_{0}^{2}$ как оценка сечения столкновений под большими углами. При некоторых условиях существует более строгий нижний предел из-за квантовой механики, а именно длина волны де Бройля электрона, $h/m_{\text{e}}v$ где $h$ — постоянная Планка .

При больших прицельных параметрах заряд иона экранируется тенденцией электронов группироваться вблизи иона, а другие ионы избегают его. Таким образом, верхняя граница прицельного параметра должна быть примерно равна дебаевской длине :

$\lambda _{\text{D}}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{\text{e}}}{n_{\text{e}}e^{2}}}}$

Кулоновский логарифм

Интеграл $1/b$ таким образом, получается логарифм отношения верхнего и нижнего порогов. Это число известно как кулоновский логарифм и обозначается либо $\ln \Lambda$ или $\lambda$. Это фактор, благодаря которому столкновения под малыми углами более эффективны, чем столкновения под большими углами. Кулоновский логарифм был введен независимо Львом Ландау в 1936 году. и Субрахманьян Чандрасекхар в 1943 году. Для многих представляющих интерес плазмы он принимает значения между $5$ и $15$. (Удобные формулы см. на страницах 34 и 35 формуляра NRL Plasma .) Пределы интеграла прицельного параметра не являются резкими, но неопределенны из-за факторов порядка единицы, что приводит к теоретической неопределенности порядка $1/\lambda$. По этой причине часто оправдано просто выбрать удобный вариант. $\lambda =10$. Анализ здесь дает масштабы и порядки величин.

Математическая обработка плазмы с учетом всех параметров воздействия

Обработку N-тела, учитывающую все параметры удара, можно выполнить, приняв во внимание несколько простых фактов. Двумя основными из них являются: (i) Вышеупомянутое изменение перпендикулярной скорости представляет собой приближение низшего порядка по 1/ b полного резерфордовского отклонения. Следовательно, описанную выше теорию возмущений можно также реализовать, используя это полное отклонение. Это делает расчет правильным до самых малых параметров удара, где необходимо использовать полное отклонение. (ii) Эффект дебаевского экранирования для больших прицельных параметров можно учесть с помощью кулоновского потенциала, экранированного Дебаем ( эффект экранирования, длина Дебая ). Это нивелирует указанное выше расхождение при больших прицельных параметрах. Приведенный выше кулоновский логарифм оказывается модифицированным константой порядка единицы.

История

В 1950-х годах перенос за счет столкновений в незамагниченной плазме одновременно изучался двумя группами в Радиационной лаборатории Беркли Калифорнийского университета . Они цитировали результаты друг друга в своих статьях. Первая ссылка посвящена среднеполевой части взаимодействия с использованием теории возмущений по амплитуде электрического поля. В тех же приближениях был получен более элегантный вывод коэффициентов столкновительного переноса с использованием уравнения Балеску–Ленарда (см. раздел 8.4 книги и сек. 7.3 и 7.4 из ). Во второй ссылке используется картина Резерфорда о столкновениях двух тел. Расчет первого эталона корректен для прицельных параметров, много больших расстояния между частицами, тогда как расчет второго работает в противоположном случае. Оба расчета распространяются на весь диапазон прицельных параметров путем введения в каждый отдельного специального порога, а не двух, как в приведенной выше упрощенной математической трактовке, но коэффициенты переноса зависят от него только логарифмически; оба результата согласуются и дают приведенное выше выражение для константы диффузии.

См. также

• Резерфордовское рассеяние

Внешние ссылки

• Эффекты ионизации [статья ApJ] Гордона Эмсли
• Формуляр НРЛ по плазме, 2013 г., изд. Архивировано 23 декабря 2016 г. в Wayback Machine.