Кинетическое уравнение Ландау

представляет Кинетическое уравнение Ландау собой уравнение переноса слабосвязанных заряженных частиц, совершающих кулоновские столкновения в плазме .

Уравнение было выведено Львом Ландау в 1936 году. как альтернатива уравнению Больцмана в случае кулоновского взаимодействия. При использовании с уравнением Власова это уравнение дает временную эволюцию столкновительной плазмы, поэтому оно считается основной кинетической моделью в теории столкновительной плазмы.

Обзор

Определение

Позволять $f(v,t)$ быть одночастичной функцией распределения . Уравнение гласит:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{3}}dw{\frac {\left(u^{2}\delta _{ij}-u_{i}u_{j}\right)}{u^{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial v_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w_{j}}}\right)f(v)f(w)\right)$$$$u=v-w$$

Правая часть уравнения известна как интеграл столкновений Ландау (параллельно интегралу столкновений Больцмана ).

$B$ получается интегрированием по межмолекулярному потенциалу $U(r)$:

$$B={\frac {1}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{3}{\hat {U}}(r)^{2}$$$${\hat {U}}(|k|)=\int _{\mathbb {R} ^{3}}dx\,U(|x|)e^{ikx}$$

Для многих межмолекулярных потенциалов (особенно степенных законов, где ${\textstyle U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}}$), выражение для $B$ расходится. Решение Ландау этой проблемы состоит в том, чтобы ввести обрезку под малыми и большими углами.

Использование

Уравнение используется в основном в статистической механике и физике элементарных частиц для моделирования плазмы. Таким образом, он использовался для моделирования и изучения плазмы в термоядерных реакторах. Он также нашел применение при моделировании Активной материи .

Уравнение и его свойства подробно изучены Александром Бобылевым .

Выводы

Первый вывод был дан в оригинальной статье Ландау . Грубая идея вывода:

Предполагая пространственно однородный газ точечных частиц с единичной массой, описываемой выражением $f(v,t)$, можно определить исправленный потенциал для кулоновских взаимодействий , ${\textstyle {\hat {U}}_{ij}=U_{ij}\exp \left(-{\frac {r_{ij}}{r_{D}}}\right)}$, где $U_{ij}$ – кулоновский потенциал , ${\textstyle U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}}$, и $r_{D}$ – радиус Дебая . Потенциал ${\hat {U_{ij}}}$ затем подставляется в интеграл столкновений Больцмана (член столкновения уравнения Больцмана ) и решается для главного асимптотического члена в пределе $r_{D}\rightarrow \infty$.

В 1946 году первый формальный вывод уравнения из иерархии ББГКИ был опубликован Николаем Боголюбовым .

Уравнение Фоккера-Планка-Ландау

В 1957 году уравнение было независимо выведено Маршаллом Розенблютом . Решая уравнение Фоккера–Планка под действием силы, обратно квадратичной , можно получить:

$${\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v_{\alpha }}}\left(-f_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial v_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v_{\beta }}}\left(f_{i}{\frac {\partial ^{2}g_{i}}{\partial v_{\alpha }\partial v_{\beta }}}\right)\right)$$

где $h_{i},g_{i}$ – потенциалы Розенблюта :

$$h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}$$$$g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}$$

для $K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^{2}}{m_{i}m_{j}}},i=1,2,\dots ,n$

Представление уравнения Фоккера-Планка в первую очередь используется для удобства при численных расчетах.

Релятивистское кинетическое уравнение Ландау

Релятивистская Гершем версия уравнения была опубликована в 1956 году Будкером и Спартаком Беляевым .

Рассматривая релятивистские частицы с импульсом $p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ и энергия ${\textstyle p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}}$, уравнение гласит:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}dq\,\Phi ^{ij}(p,\ q)\left[h(q){\frac {\partial }{\partial p_{j}}}g(p)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}h(q)g(p)\right]$$

где ядро ​​определяется выражением $\Phi ^{ij}=\mathrm {A} (p,q)S^{ij}(p,q)$ такой, что:

$$\mathrm {A} ={\frac {\left(\rho _{-}+1\right)^{2}}{p^{0}q^{0}}}\left(\rho _{+}\rho _{-}\right)^{-3/2}$$$$S^{ij}=\rho _{+}\rho _{-}\delta _{ij}-\left(p_{i}-q_{i}\right)\left(p_{j}-q_{j}\right)+\rho _{-}\left(p_{i}q_{j}+p_{j}q_{i}\right)$$$$\rho _{\pm }=p^{0}q^{0}-pq\pm 1$$

Релятивистская поправка к уравнению актуальна, поскольку частицы в горячей плазме часто достигают релятивистских скоростей .

См. также

• Уравнение Больцмана
• уравнение Власова