Длина Дебая

В плазме и электролитах дебаевская длина $\lambda _{\rm {D}}$ ( Радиус Дебая или длина экранирования Дебая – Хюкеля ) является мерой носителя заряда чистого электростатического эффекта в растворе и того, насколько долго сохраняется его электростатический эффект. С каждой дебаевской длиной заряды все более электрически экранируются , а электрический потенциал уменьшается по величине на 1/ e . Сфера Дебая — это объем, радиус которого равен длине Дебая. Длина Дебая — важный параметр в физике плазмы , электролитов и коллоидов ( теория ДЛФО ). Соответствующий волновой вектор дебаевского экранирования $k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}$ для частиц плотности $n$, заряжать $q$ при температуре $T$ дается $k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)$ в гауссовских единицах . Ниже будут приведены выражения в единицах МКС. Аналогичные величины при очень низких температурах ( $T\to 0$) известны как длина Томаса–Ферми и волновой вектор Томаса–Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре.

Длина Дебая названа в честь американского физика и химика голландского происхождения Питера Дебая (1884–1966), лауреата Нобелевской премии по химии.

Физическое происхождение

Дебаевская длина естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе $N$ различные виды зарядов, $j$-й вид несет заряд $q_{j}$ и имеет концентрацию $n_{j}(\mathbf {r} )$ на позиции $\mathbf {r}$. Согласно так называемой «примитивной модели», эти заряды распределены в сплошной среде, характеризующейся только ее относительной статической диэлектрической проницаемостью . $\varepsilon _{r}$.Такое распределение зарядов внутри этой среды порождает электрический потенциал. $\Phi (\mathbf {r} )$ которое удовлетворяет уравнению Пуассона : $$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),$$где $\varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$, $\varepsilon _{0}$ - электрическая постоянная , а $\rho _{\rm {ext}}$ — плотность заряда, внешняя (логически, а не пространственно) по отношению к среде.

Плата за мобильную связь не только способствует созданию $\Phi (\mathbf {r} )$ но также двигаться в ответ на связанную с этим силу Кулона , $-q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )$.Если далее предположить, что система находится в термодинамическом равновесии с тепловой баней при абсолютной температуре $T$, то концентрации дискретных зарядов, $n_{j}(\mathbf {r} )$, можно рассматривать как термодинамические (ансамблевые) средние значения, а связанный с ним электрический потенциал - как среднее термодинамическое поле .При таких предположениях концентрация $j$-й вид заряда описывается распределением Больцмана , $$n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),$$где $k_{\rm {B}}$ – постоянная Больцмана и где $n_{j}^{0}$ это среднееконцентрация зарядов видов $j$.

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами среднего поля в распределении Больцмана дает уравнение Пуассона-Больцмана : $$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).$$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высоких температур (слабой связи): $q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T$, Тейлором , расширяющим экспоненту: $$\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.$$

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона – Больцмана $$\varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )$$которое также известно как уравнение Дебая – Хюккеля : Второе слагаемое в правой части исчезает для электронейтральных систем. Термин в скобках разделен на $\varepsilon$, имеет единицы измерения, обратные квадрату длины и Размерный анализ приводит к определению характерного масштаба длины $$\lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}$$ее обычно называют длиной Дебая – Хюккеля. Как единственный характерный масштаб длины в уравнении Дебая – Хюккеля, $\lambda _{D}$ устанавливает масштаб изменений потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят одинаковый вклад в длину Дебая – Хюккеля, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид $$\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}$$Чтобы проиллюстрировать дебаевское экранирование, потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом $\rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )$ является $$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}$$Голый кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии дебаевской длины: это называется дебаевским экранированием или экранированием ( эффект экранирования ).

Длина Дебая – Хюккеля может быть выражена через длину Бьеррума. $\lambda _{\rm {B}}$ как $$\lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},$$где $z_{j}=q_{j}/e$ — целое число зарядов , которое связывает заряд на $j$-й ионныйвид элементарного заряда $e$.

В плазме

Для слабостолкновительной плазмы дебаевское экранирование можно ввести очень интуитивно, принимая во внимание зернистый характер такой плазмы. Представим себе сферу вокруг одного из ее электронов и сравним число электронов, пересекающих эту сферу с учетом и без кулоновского отталкивания. При отталкивании это число меньше. Поэтому, согласно теореме Гаусса, кажущийся заряд первого электрона меньше, чем в отсутствие отталкивания. Чем больше радиус сферы, тем больше число отклоненных электронов и тем меньше кажущийся заряд: это дебаевское экранирование. Поскольку глобальное отклонение частиц включает в себя вклад многих других, плотность электронов не меняется, в отличие от экранирования, действующего рядом с ленгмюровским зондом ( дебаевская оболочка ). Ионы вносят аналогичный вклад в экранирование из-за притягивающего кулоновского отклонения зарядов с противоположными знаками.

Эта интуитивная картина приводит к эффективному расчету дебаевского экранирования (см. раздел II.A.2 книги). ). В этом расчете нет необходимости допускать распределение Больцмана: оно работает для любой функции распределения частиц. Расчет также позволяет избежать аппроксимации слабостолкновительной плазмы как сплошной среды. Расчет N-тел показывает, что чистое кулоновское ускорение частицы другой модифицируется вкладом, опосредованным всеми другими частицами, что является признаком дебаевского экранирования (см. раздел 8 ). При старте из случайных положений частиц типичным временем установления экранирования является время, за которое тепловая частица пересекает дебаевскую длину, т.е. время, обратное плазменной частоте. Поэтому в слабостолкновительной плазме столкновения играют важную роль, вызывая кооперативный процесс самоорганизации: дебаевское экранирование. Это экранирование важно для получения конечного коэффициента диффузии при расчете кулоновского рассеяния ( кулоновского столкновения ).

В неизотермической плазме температуры электронов и тяжелых частиц могут различаться, а фоновую среду можно рассматривать как вакуум ( $\varepsilon _{r}=1$), а дебаевская длина равна $$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}$$где

• λ _D – дебаевская длина,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• k _B – постоянная Больцмана ,
• q _e – заряд электрона ,
• T _e и Ti _— температуры электронов и ионов соответственно,
• n _e – плотность электронов,
• n _j — плотность атомов j с положительным ионным зарядом z _j q _e

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется большим из-за более низкой температуры ионов, ионный член на самом деле часто опускается, что дает $$\lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}$$хотя это справедливо только тогда, когда подвижность ионов незначительна по сравнению с временными рамками процесса.

Типичные значения

В космической плазме, где плотность электронов относительно мала, дебаевская длина может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. таблицу ниже:

Плазма	Плотность n e (m −3 )	Электронная температура Т (К)	Магнитное поле Б (Т)	Длина Дебая λ Д (м)
Солнечное ядро	10 32	10 7	—	10 −11
Токамак	10 20	10 8	10	10 −4
Выпуск газа	10 16	10 4	—	10 −4
ионосфера	10 12	10 3	10 −5	10 −3
Магнитосфера	10 7	10 7	10 −8	10 2
Солнечный ветер	10 6	10 5	10 −9	10
Межзвездная среда	10 5	10 4	10 −10	10
Межгалактическая среда	1	10 6	—	10 5

В растворе электролита

В электролите или коллоидной суспензии длина Дебая для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ ⁻¹ $$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}$$

где

• I - ионная сила электролита в числах/м. ³ единицы,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• ε _r – диэлектрическая проницаемость ,
• k _B – постоянная Больцмана ,
• Т — абсолютная температура в Кельвинах ,
• $e$ это элементарный заряд ,

или, для симметричного одновалентного электролита, $$\kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}$$где

• R — газовая постоянная ,
• F — постоянная Фарадея ,
• C ₀ – концентрация электролита в молярных единицах (М или моль/л).

Альтернативно, $$\kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}$$где $\lambda _{\rm {B}}$ – длина Бьеррума среды в нм,и фактор $10^{-24}$ получается в результате преобразования единицы объема из кубических дм в кубические нм.

Для деионизированной воды при комнатной температуре и pH=7 λ _B ≈ 1 мкм.

При комнатной температуре (20 °C или 70 °F) в воде можно рассматривать соотношение: $$\kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}$$где

• Мистер ⁻¹ выражается в нанометрах (нм)
• I — ионная сила, выраженная в молях (М или моль/л).

Существует метод оценки приблизительного значения дебаевской длины в жидкостях с использованием проводимости, который описан в стандарте ISO. и книга.

В полупроводниках

Длина Дебая становится все более значимой при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования в литографических технологиях позволяют использовать меньшую геометрию.

Дебаевская длина полупроводников равна: $$L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}$$где

• ε — диэлектрическая проницаемость,
• k _B – постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура в Кельвинах,
• q — элементарный заряд, а
• N _dop — чистая плотность легирующих примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, поведение основных носителей заряда больше не зависит от распределения примесей. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю плотности основных носителей.

В контексте твердых тел длина экранирования Томаса – Ферми вместо длины Дебая может потребоваться .

См. также

• Длина Бьеррума
• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Плазменные колебания
• Экранирующий эффект
• Экранирующий эффект

Дальнейшее чтение

• Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы . Филадельфия: Издательство Института физики .
• Ликлема (1993). Основы интерфейсов и коллоидной науки . Нью-Йорк: Академическая пресса .