Комплексное обратное распределение Уишарта

Комплексное обратное распределение Уишарта

Обозначения	${\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p)$
Параметры	$\nu >p-1$ степени свободы ( действительные ) $\mathbf {\Psi } >0$, $p\times p$ матрица масштаба ( поз. по определению )
Поддерживать	$\mathbf {X}$ является p × p положительно определенным эрмитовым
PDF	${\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}$ ${\mathcal {C}}\Gamma _{p}$ это комплексная многомерная гамма-функция ${\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)$ $\operatorname {tr}$ это трассировки функция
Иметь в виду	${\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p}}$ для $\nu >p+1$
Дисперсия	см. ниже

Комплексное обратное распределение Вишарта — это матричное распределение вероятностей, определенное на комплекснозначных положительно определенных матрицах , и является комплексным аналогом действительного обратного распределения Вишарта . Сложное распределение Уишарта было тщательно исследовано Гудманом. а вывод обратного показан Шаманом и другие. Наибольшее применение он имеет в теории оптимизации методом наименьших квадратов, применяемой к комплексным выборкам данных в системах цифровой радиосвязи, часто связанных с комплексной фильтрацией в области Фурье.

Сдача в аренду $\mathbf {S} _{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}$ — выборочная ковариация независимых комплексных p -векторов $G_{j}$ чья эрмитова ковариация имеет сложное распределение Уишарта $\mathbf {S} \sim {\mathcal {CW}}(\mathbf {\Sigma } ,\nu ,p)$ со средним значением $\mathbf {\Sigma } {\text{ and }}\nu$ степеней свободы, затем PDF-файл $\mathbf {X} =\mathbf {S^{-1}}$ следует сложному обратному распределению Уишарта.

Плотность

Если $\mathbf {S} _{p\times p}$ это образец сложного распределения Wishart ${\mathcal {CW}}({\mathbf {\Sigma } },\nu ,p)$ такое, что в простейшем случае $\nu \geq p{\text{ and }}\left|\mathbf {S} \right|>0$ затем $\mathbf {X} =\mathbf {S} ^{-1}$ выбирается из обратного комплексного распределения Уишарта ${\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p){\text{ where }}\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}$.

Функция плотности $\mathbf {X}$ является

$f_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} )={\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}$

где ${\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )$ это комплексная многомерная гамма-функция

${\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)$

Моменты

Дисперсии и ковариации элементов обратного комплексного распределения Уишарта показаны в статье Шамана выше, а Майвальд и Краус определить моменты с 1-го по 4-й.

Шаман считает первый момент

$\mathbf {E} [{\mathcal {C}}\mathbf {W^{-1}} ]={\frac {1}{n-p}}\mathbf {\Psi ^{-1}} ,\;n>p$

и в простейшем случае $\mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{p\times p}$, данный $d={\frac {1}{n-p}}$, затем

$\mathbf {\mathbf {E} \left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}d&0&0&0&d&0&0&0&d\\\end{bmatrix}}$

Векторизованная ковариация

$\mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{p}^{-1})\right]} =b\left(\mathbf {I} _{p}\otimes I_{p}\right)+c\,\mathbf {vecI_{p}} \left(\mathbf {vecI_{p}} \right)^{T}+(a-b-c)\mathbf {J}$

где $\mathbf {J}$ это $p^{2}\times p^{2}$ единичная матрица с единицами в диагональных положениях $1+(p+1)j,\;j=0,1,\dots p-1$ и $a,b,c$ являются вещественными константами такими, что для $n>p+1$

$a={\frac {1}{(n-p)^{2}(n-p-1)}}$, предельные диагональные дисперсии

$b={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)(n-p-1)}}$, недиагональные дисперсии.

$c={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)^{2}(n-p-1)}}$, внутридиагональные ковариации

Для $\mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{3}$, мы получаем разреженную матрицу:

$\mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}a&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &a&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &a\\\end{bmatrix}}$

Распределения собственных значений

Совместное распределение действительных собственных значений обратного комплексного (и вещественного) Уишарта найдено в статье Эдельмана. который ссылается на более раннюю статью Джеймса. В несингулярном случае собственные значения обратного Уишарта представляют собой просто инвертированные значения Уишарта. Эдельман также характеризует маргинальные распределения наименьших и наибольших собственных значений комплексных и вещественных матриц Уишарта.