Консистенция Фишера

В статистике , согласованность Фишера , названная в честь Рональда Фишера , является желательным свойством оценщика , утверждающего, что если бы оценщик был рассчитан с использованием всей совокупности а не выборки , было бы получено истинное значение оцениваемого параметра.

Определение

Предположим, у нас есть статистическая выборка X ₁ , ..., X _n , где каждый X _i соответствует кумулятивному распределению F _θ , которое зависит от неизвестного параметра θ . Если оценку θ на основе выборки можно представить как функционал эмпирической функции распределения F̂ _n :

${\hat {\theta }}=T({\hat {F}}_{n})\,,$

Говорят, что оценка непротиворечива по Фишеру, если:

$T(F_{\theta })=\theta \,.$

Пока X _i являются взаимозаменяемыми , оценка T, в терминах X _i, может быть преобразована в оценку T ' , которая может быть определена в терминах Fn _{определенная} путем усреднения T по всем перестановкам данных. Результирующая оценка будет иметь то же ожидаемое значение, что и T и ее дисперсия не будет больше, чем у T. ,

Если усиленный закон больших чисел можно применить , эмпирические функции распределения F̂ _n сходятся поточечно к F _θ , что позволяет нам выразить непротиворечивость Фишера как предел — оценка является непротиворечивой по Фишеру, если

$T\left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\hat {F}}_{n}\right)=\theta .\,$

Пример конечной популяции

Предположим, что наша выборка получена из конечной совокупности Z ₁ , ..., Z _m . Мы можем представить нашу выборку размером n как долю выборки n _i / n, принимающую каждое значение в генеральной совокупности. Записав нашу оценку θ как T ( n ₁ / n , n _m / n ), популяционным аналогом оценки является T ( p ₁ , ..., pm _X ), где p _i = P ( , ... = Z _я ). Таким образом, мы имеем согласованность по Фишеру, T ( p 1 _, ..., pm _если ) = θ.

Предположим, что интересующий параметр — это ожидаемое значение μ, а оценщик — это выборочное среднее , которое можно записать

$n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}I(X_{i}=Z_{j})Z_{j},$

где I – индикаторная функция . Популяционный аналог этого выражения:

$n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}p_{j}Z_{j}=n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\mu =\mu ,$

Итак, мы имеем последовательность Фишера.

Роль в оценке максимального правдоподобия

Максимизация функции правдоподобия L дает оценку, которая является согласованной по Фишеру для параметра b, если

$E\left[{\frac {d\ln L}{db}}\right]=0{\text{ at }}b=b_{0},\,$

где b ₀ представляет истинное значение b .

Связь с асимптотической согласованностью и несмещенностью

Термин «согласованность» в статистике обычно относится к оценщику, который асимптотически непротиворечив . Согласованность Фишера и асимптотическая согласованность — это разные понятия, хотя обе они направлены на определение желаемого свойства средства оценки. Хотя многие оценки последовательны в обоих смыслах, ни одно из определений не включает в себя другое. Например, предположим, что мы берем оценку T _n , которая является одновременно непротиворечивой по Фишеру и асимптотически непротиворечивой, а затем формируем T _n + En _. , где En _— детерминированная последовательность ненулевых чисел, сходящаяся к нулю Эта оценка асимптотически непротиворечива, но не согласована по Фишеру при любом n .

Выборочное среднее представляет собой непротиворечивую и несмещенную оценку среднего значения генеральной совокупности по Фишеру, но не все непротиворечивые оценки Фишера являются несмещенными. Предположим, мы наблюдаем выборку из равномерного распределения по (0, θ) и хотим оценить θ. Максимум выборки соответствует Фишеру, но смещен в сторону понижения. И наоборот, выборочная дисперсия представляет собой несмещенную оценку генеральной дисперсии, но не является последовательной по Фишеру.

Роль в теории принятия решений

Функция потерь является согласованной по Фишеру, если минимизирующая совокупность риска приводит к правилу оптимального решения Байеса.