Монодоменная модель

Монодоменная модель представляет собой упрощенную версию бидоменной модели распространения электрического тока в ткани миокарда.Снижение происходит за счет предположения, что внутри- и внеклеточные домены имеют равные коэффициенты анизотропии.Хотя она и не так физиологически точна, как модель бидомена , в некоторых случаях она все же адекватна и имеет меньшую сложность.

Формулировка

Существование $\mathbb {T}$ граница области модели, монодоменную модель можно сформулировать следующим образом

$${\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\quad \quad {\text{in }}\mathbb {T} ,$$

где $\mathbf {\Sigma } _{i}$ – тензор внутриклеточной проводимости, $v$ трансмембранный потенциал, $I_{\text{ion}}$ – трансмембранный ионный ток на единицу площади, $C_{m}$ - емкость мембраны на единицу площади, $\lambda$ - соотношение внутри- и внеклеточной проводимости, и $\chi$ — площадь поверхности мембраны на единицу объема (ткани).

Вывод

Монодоменную модель можно легко вывести из бидоменной модели . Это последнее можно записать как

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}$$

Предполагая равные коэффициенты анизотропии, т.е. $\mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}$, второе уравнение можно записать как

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).$$

Затем вставка этого в первое уравнение бидомена дает уникальное уравнение монодоменной модели.

$${\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).$$

Граничные условия

В отличие от модели бидомена, обычно монодоменная модель снабжена изольтадным граничным условием, что означает, что предполагается, что нет тока, который может течь из домена или в него (обычно сердце). Математически это делается путем введения нулевого трансмембранного потенциального потока, т.е .:

$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \mathbb {T}$

где $\mathbf {n}$ - единица внешней нормали области и $\partial \mathbb {T}$ является границей домена.

См. также

• Бидоменная модель
• Перспективные задачи электрокардиологии