Бидоменная модель

Бидоменная модель — это математическая модель для определения электрической активности сердца . Он заключается в континуальном (среднеобъемном) подходе, при котором микроструктура сердца определяется с помощью мышечных волокон, сгруппированных в листы, создавая сложную трехмерную структуру с анизотропными свойствами. Затем, чтобы определить электрическую активность, рассматриваются два взаимопроникающих домена: внутриклеточный и внеклеточный , представляющие соответственно пространство внутри клеток и область между ними.

Модель бидомена была впервые предложена Шмиттом в 1969 году. прежде чем быть сформулировано математически в конце 1970-х годов.

Поскольку это модель континуума, а не описание каждой ячейки в отдельности, она представляет усредненные свойства и поведение группы ячеек, организованных в сложную структуру. Таким образом, модель оказывается сложной и ее можно рассматривать как обобщение теории кабеля на более высокие измерения и определение так называемых уравнений бидомена .

Многие интересные свойства модели бидоменов возникают из условия неравных коэффициентов анизотропии. Электропроводность . в анизотропных тканях не одинакова во всех направлениях, но различна в параллельном и перпендикулярном по отношению к волокну направлении Более того, в тканях с неодинаковыми коэффициентами анизотропии соотношение проводимостей параллельно и перпендикулярно волокнам различно во внутриклеточном и внеклеточном пространствах. Например, в сердечной ткани коэффициент анизотропии во внутриклеточном пространстве составляет около 10:1, а во внеклеточном пространстве — около 5:2. Математически неравные коэффициенты анизотропии означают, что эффект анизотропии нельзя устранить изменением шкалы расстояний в одном направлении. Вместо этого анизотропия оказывает более глубокое влияние на электрическое поведение.

Три примера влияния неравных коэффициентов анизотропии:

• распределение трансмембранного потенциала при униполярной стимуляции листка сердечной ткани,
• магнитное поле, создаваемое волновым фронтом потенциала действия, распространяющимся через сердечную ткань,
• влияние кривизны волокон на распределение трансмембранного потенциала при ударе электрическим током.

Формулировка

Бидоменный домен

Область бидоменной модели, рассматривающая внутриклеточную и внеклеточную область как уникальную физическую область, представляющую сердце, и экстрамиокардиальную область, представляющую туловище или ванну с жидкостью.

Бидоменный домен в основном представлен двумя основными областями: сердечными клетками, называемыми внутриклеточными доменами, и пространством, окружающим их, называемым внеклеточными доменами. Более того, обычно рассматривают еще одну область, называемую экстрамиокардиальной. Внутриклеточные и внеклеточные домены, разделенные клеточной мембраной , считаются уникальным физическим пространством, представляющим сердце. $\mathbb {H}$), а экстрамиокардиальный домен представляет собой уникальное физическое пространство, примыкающее к ним ( $\mathbb {T}$). Экстрамиокардиальную область можно рассматривать как ванну с жидкостью, особенно если нужно имитировать экспериментальные условия, или как туловище человека для имитации физиологических условий. Определенные границы двух основных физических областей важны для решения модели бидоменов. Здесь граница сердца обозначается как $\partial \mathbb {H}$ в то время как граница области туловища $\partial \mathbb {T} .$

Неизвестные и параметры

Неизвестных в модели бидомена три: внутриклеточный потенциал $v_{i}$, внеклеточный потенциал $v_{e}$ и трансмембранный потенциал $v$, который определяется как разность потенциалов на клеточной мембране $v=v_{i}-v_{e}$.

Кроме того, необходимо учитывать некоторые важные параметры, особенно матрицу тензора внутриклеточной проводимости. $\mathbf {\Sigma } _{i}$, матрица тензора внеклеточной проводимости $\mathbf {\Sigma } _{e}$. Трансмембранный ток протекает между внутриклеточными и внеклеточными областями и частично описывается соответствующим ионным током через мембрану на единицу площади. $I_{\text{ion}}$. При этом емкость мембраны на единицу площади $C_{m}$ и соотношение поверхности и объема клеточной мембраны $\chi$ необходимо учитывать для получения формулировки модели бидомена, что делается в следующем разделе .

Стандартная формулировка

Модель бидомена определяется с помощью двух уравнений в частных производных (PDE), первое из которых представляет собой уравнение диффузии реакции в терминах трансмембранного потенциала , а второе вычисляет внеклеточный потенциал, исходя из заданного распределения трансмембранного потенциала.

Таким образом, модель бидомена можно сформулировать следующим образом:

$${\begin{alignedat}{2}&\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}\\[1ex]&\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}\end{alignedat}}$$

где $I_{s_{1}}$ и $I_{s_{2}}$ можно определить как приложенные внешние стимулирующие токи.

тока

Ионный ток обычно представляется ионной моделью через систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Математически можно написать $I_{\text{ion}}=I_{\text{ion}}(v,\mathbf {w} )$ где $\mathbf {w}$ называется ионной переменной. Тогда вообще для всех $t>0$, система читает

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}=\mathbf {F} (v,\mathbf {w} )&{\text{in }}\mathbb {H} \\\mathbf {w} (t=0)=\mathbf {w} _{0}&{\text{in }}\mathbb {H} \end{cases}}$$

Были предложены различные ионные модели:

• феноменологические модели, которые являются простейшими и используются для воспроизведения макроскопического поведения клетки.
• физиологические модели, учитывающие как макроскопическое поведение, так и физиологию клеток с достаточно подробным описанием наиболее важного ионного тока.

Модель

В некоторых случаях рассматривают экстрамиокардиальную область. Это подразумевает добавление к бидоменной модели уравнения, описывающего распространение потенциала внутри экстрамиокардиальной области.

Обычно это уравнение представляет собой простое обобщенное уравнение Лапласа типа

$$-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})=0\quad \mathbf {x} \in \mathbb {T}$$

где $v_{0}$ потенциал в экстрамиокардиальной области и $\mathbf {\Sigma } _{0}$ – соответствующий тензор проводимости.

Кроме того, рассматривается предположение об изолированной области, что означает, что добавляются следующие граничные условия

$$(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0})\cdot \mathbf {n} _{0}=0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {T} ,$$

$\mathbf {n} _{0}$ будучи единицей, в норме направленной за пределы экстрамиокардиальной области.

Если экстрамиокардиальной областью является туловище человека, эта модель порождает передовую проблему электрокардиологии .

Вывод

Уравнения биобласти выведены из Максвелла с учетом некоторых упрощений. уравнений электромагнетизма

Первое предположение состоит в том, что внутриклеточный ток может протекать только между внутриклеточными и внеклеточными областями, в то время как внутриклеточные и экстрамиокардиальные области могут сообщаться между собой, так что ток может течь в экстрамиокардиальные области и из них, но только во внеклеточном пространстве.

Используя закон Ома и квазистатическое предположение, градиент скалярного потенциального поля $\varphi$ может описать электрическое поле $\mathbf {E}$, а это значит, что

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi .$$

Тогда, если $J$ представляют собой плотность тока электрического поля $\mathbf {E}$, можно получить два уравнения

$${\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}$$

где индекс $i$ и $e$ представляют собой внутриклеточные и внеклеточные количества соответственно.

Второе предположение состоит в том, что сердце изолировано, поэтому ток, выходящий из одной области, должен течь в другую. Тогда плотность тока в каждом из внутриклеточных и внеклеточных доменов должна быть равна по величине, но противоположны по знаку, и может быть определена как произведение отношения поверхности к объему клеточной мембраны и плотности трансмембранного ионного тока. $I_{m}$ на единицу площади, а это значит, что

$$-\nabla \cdot J_{i}=\nabla \cdot J_{e}=\chi I_{m}.$$

Комбинируя предыдущие предположения, получаем сохранение плотностей тока, а именно

${\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})&=\chi I_{m}\\\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})&=-\chi I_{m}\end{alignedat}}$ ( 1 )

откуда, суммируя два уравнения

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}).$$

Это уравнение точно утверждает, что все токи, выходящие из одной области, должны войти в другую.

Отсюда легко найти второе уравнение модели бидомена, вычитая $\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})$ с обеих сторон. Фактически,

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})$$

и зная, что трансмембральный потенциал определяется как $v=v_{i}-v_{e}$

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)=-\nabla \cdot ((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}).$$

Тогда, зная трансмембральный потенциал, можно восстановить внеклеточный потенциал.

Затем ток, текущий через клеточную мембрану, можно смоделировать с помощью уравнения кабеля :

$I_{m}=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right),$ ( 2 )

Объединение уравнений ( 1 ) и ( 2 ) дает

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ion}\right).$$

Наконец, сложение и вычитание $\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})$ слева и перестановка $v=v_{i}-v_{e}$, можно получить первое уравнение модели бидомена

$$\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right),$$

который описывает эволюцию трансмембранного потенциала во времени.

Окончательная формулировка, описанная в разделе стандартных формулировок , получена путем обобщения с учетом возможных внешних стимулов, которые могут быть поданы через внешние приложенные токи. $I_{s_{1}}$ и $I_{s_{2}}$.

Граничные условия

Для решения модели необходимы граничные условия. Более классическими граничными условиями являются следующие, сформулированные Тунгом.

Прежде всего, как говорилось ранее в разделе «Выводы» , не может быть никакого тока между внутриклеточным и экстрамиокардиальным доменами. Математически это можно описать как

$$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})\cdot \mathbf {n} =0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H}$$

где $\mathbf {n}$ - вектор, который представляет собой внешнюю единицу, нормальную к поверхности миокарда сердца.Поскольку внутриклеточный потенциал не представлен явно в формулировке бидомена, это состояние обычно описывается в терминах трансмембранного и внеклеточного потенциала, зная, что $v=v_{i}-v_{e}$, а именно

$$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Для внеклеточного потенциала, если присутствует миокардиальная область, рассматривают баланс потока между внеклеточной и экстрамиокардиальной областями.

$$\left(\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} _{e}=-\left(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Здесь рассматриваются нормальные векторы с точки зрения обеих областей, поэтому необходим отрицательный знак. Кроме того, необходима идеальная передача потенциала на сердечной границе, что дает

$$v_{e}=v_{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Вместо этого, если сердце считается изолированным, что означает отсутствие области миокарда, возможным граничным условием для внеклеточной проблемы является

$$\left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)\cdot \mathbf {n} =-\left((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .$$

Сведение к монодоменной модели

Предполагая равные коэффициенты анизотропии для внутри- и внеклеточных доменов, т.е. $\mathbf {\Sigma } _{i}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{e}$ для некоторого скаляра $\lambda$, модель можно свести к одному уравнению, называемому уравнением монообласти

$$\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } \nabla v)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s}$$

где единственной переменной теперь является трансмембранный потенциал и тензор проводимости $\mathbf {\Sigma }$ представляет собой комбинацию $\mathbf {\Sigma } _{i}$ и $\mathbf {\Sigma } _{e}.$

Формулировка с граничными условиями в изолированной области

Если сердце рассматривать как изолированную ткань, а это означает, что ток не может течь за его пределами, окончательная формулировка с граничными условиями будет выглядеть следующим образом:

$${\begin{cases}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\[1ex]\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{cases}}$$

Численное решение

Существуют различные возможные методы решения уравнений бидоменной области. Между ними можно найти конечно-разностные схемы , схемы конечных элементов , а также схемы конечного объема . Особое внимание следует уделить численному решению этих уравнений из-за высокого временного и пространственного разрешения, необходимого для численной сходимости.

См. также

• Монодоменная модель
• Перспективные задачи электрокардиологии

Внешние ссылки

• Статья в Scholarpedia о модели бидомена