Перспективные задачи электрокардиологии

Схематическая диаграмма нормального синусового ритма сердца человека на ЭКГ.

Передовая задача электрокардиологии — вычислительно-математический подход к изучению электрической активности сердца через поверхность тела. ^[1] Основная цель этого исследования — компьютерное воспроизведение электрокардиограммы (ЭКГ), которая имеет важное клиническое значение для определения сердечных патологий, таких как ишемия и инфаркт , или для проверки фармацевтического вмешательства . Учитывая их важные функциональные возможности и относительную малоинвазивность, методы электрокардиографии довольно часто используются в качестве клинических диагностических тестов . Таким образом, естественно перейти к компьютерному воспроизведению ЭКГ, то есть к математическому моделированию поведения сердца внутри организма. ^[1]

Три основные части прямой модели ЭКГ:

модель электрической активности сердца;
модель диффузии электрического потенциала внутри туловища, представляющая экстракардиальную область;
некоторые специфические условия соединения сердца и туловища. ^[2]

Таким образом, для получения ЭКГ необходимо учитывать математическую электрическую модель сердца в сочетании с диффузионной моделью в пассивном проводнике , которая описывает распространение электрического тока внутри туловища . ^[1]

Связанная модель обычно представляет собой трехмерную модель, выраженную с помощью уравнений в частных производных . Такая модель обычно решается с помощью метода конечных элементов для пространственной эволюции решения и полунеявных численных схем, включающих конечные разности для временной эволюции решения. Однако вычислительные затраты таких методов, особенно при трехмерном моделировании, довольно высоки. Таким образом, часто рассматриваются упрощенные модели, решающие, например, электрическую активность сердца независимо от проблемы туловища. Для получения реалистичных результатов необходимо использовать трехмерные анатомически реалистичные модели сердца и туловища. ^[1]

Другое возможное упрощение — это динамическая модель, состоящая из трех обыкновенных дифференциальных уравнений . ^[3]

Модели сердечной ткани

Электрическая активность сердца обусловлена потоком ионов через клеточную мембрану , между внутриклеточным и внеклеточным пространством, что определяет волну возбуждения по сердечной мышце , координирующую сокращение сердца и, таким образом, насосную деятельность сердца. это позволяет ему проталкивать кровь через систему кровообращения . Таким образом, моделирование электрической активности сердца связано с моделированием потока ионов на микроскопическом уровне и распространения волны возбуждения по мышечным волокнам на макроскопическом уровне. ^[1]^[4]

Используя математическую модель на макроскопическом уровне, Виллем Эйнтховен и Огастес Уоллер определили ЭКГ с помощью концептуальной модели диполя, вращающегося вокруг фиксированной точки, проекция которого на ось отведения определяла записи отведений. Тогда стала возможной двухмерная реконструкция сердечной деятельности во фронтальной плоскости с использованием отведений I, II и III эйнтховенских конечностей . в качестве теоретической основы ^[5]В дальнейшем вращающийся сердечный диполь сочли неадекватным и заменили мультиполярными источниками, движущимися внутри ограниченной области туловища. Основным недостатком методов, используемых для количественной оценки этих источников, является отсутствие деталей, которые, однако, очень важны для реалистичного моделирования сердечных явлений. ^[4]

С другой стороны, микроскопические модели пытаются представить поведение отдельных клеток и связать их с учетом их электрических свойств. ^[6]^[7]^[8] Эти модели представляют собой некоторые проблемы, связанные с различными масштабами, которые необходимо уловить, в частности, учитывая, что, особенно для крупномасштабных явлений, таких как возвращение в атмосферу или потенциал поверхности тела , коллективное поведение клеток более важно, чем поведение каждой отдельной клетки. клетка. ^[4]

Третий вариант моделирования электрической активности сердца — рассмотреть так называемый «средний подход», при котором модель включает как более низкий, так и более высокий уровень детализации. Этот вариант учитывает поведение блока ячеек, называемого ячейкой континуума, что позволяет избежать проблем с масштабом и детализацией. Полученная модель называется бидоменной моделью , которую часто заменяют ее упрощением — монодоменной моделью . ^[4]

Бидоменная модель

Основное предположение бидоменной модели состоит в том, что сердечная ткань может быть разделена на две омические проводящие непрерывные среды, соединенные, но разделенные клеточной мембраной. Эту среду называют внутриклеточной и внеклеточной областями, первая представляет собой клеточные ткани, а вторая представляет собой пространство между клетками. ^[2]^[1]

Стандартная формулировка модели бидомена, включая динамическую модель ионного тока, выглядит следующим образом. ^[2] ${\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}$ где $V_{m}$ и $u_{e}$ – трансмембранный и внеклеточный потенциалы соответственно, $I_{\text{ion}}$ – ионный ток, который также зависит от так называемой управляющей переменной $w$ (с учетом ионного поведения на клеточном уровне) и $I_{\text{app}}$ — внешний ток, приложенный к домену. Более того, ${\boldsymbol {\sigma }}_{i}$ и ${\boldsymbol {\sigma }}_{e}$ – тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости, $A_{m}$ - отношение поверхности к объему клеточной мембраны и $C_{m}$ – емкость мембраны на единицу площади. Здесь домен $\Omega _{H}$ представляет собой сердечную мышцу. ^[2]

Граничные условия для этой версии модели бидомена получены в предположении об отсутствии потока внутриклеточного потенциала за пределы сердца, а это означает, что ${\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma$ где $\Sigma =\partial \Omega _{H}$ обозначает границу сердечной области и $\mathbf {n}$ является ли внешняя единица нормальной для $\Sigma$ . ^[2]

Монодоменная модель

Монодоменная модель представляет собой упрощение бидоменной модели, которая, несмотря на некоторые нефизиологические предположения, способна отображать реалистичные электрофизиологические явления, по крайней мере, в том, что касается трансмембранного потенциала. $V_{m}$ . ^[2]^[1]

Стандартная формулировка представляет собой следующее уравнение в частных производных, единственное неизвестное которого $V_{m}$ трансмембранный потенциал: $\chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}$ где $\lambda$ – параметр, связывающий тензоры внутриклеточной и внеклеточной проводимости. ^[2]

Граничное условие, используемое для этой модели: ^[9] $\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.$

Модель ткани туловища

В прямой задаче электрокардиографии туловище рассматривается как пассивный проводник, и его модель может быть получена, исходя из уравнений Максвелла в квазистатическом предположении. ^[1]^[2]

Стандартная формулировка состоит из уравнения в частных производных с одним неизвестным скалярным полем, потенциалом туловища. $u_{T}$ . По сути, модель туловища представляет собой следующее обобщенное уравнение Лапласа $\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},$ где ${\boldsymbol {\sigma }}_{T}$ – тензор проводимости и $\Omega _{T}$ это область, окружающая сердце, то есть туловище человека. ^[2]

Вывод

Что касается модели бидомена, модель туловища может быть получена из уравнений Максвелла и уравнения непрерывности после некоторых допущений. Прежде всего, поскольку электрическая и магнитная активность внутри тела генерируется на низком уровне, можно рассматривать квазистатическое предположение. Таким образом, тело можно рассматривать как пассивный проводник, а это значит, что его емкостным, индуктивным и распространяющим действием можно пренебречь. ^[1]

В квазистатическом предположении уравнения Максвелла имеют вид ^[1] ${\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}$ и уравнение неразрывности имеет вид ^[1] $\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$

Поскольку его ротор равен нулю, электрическое поле можно представить градиентом скалярного потенциального поля, потенциала туловища.

\mathbf {E} =-\nabla u_{T}

( 1 )

где отрицательный знак означает, что ток течет от областей с более высоким потенциалом к более низким. ^[1]

Тогда общая плотность тока может быть выражена через ток проводимости и другие различные приложенные токи, так что из уравнения непрерывности: ^[1]

\nabla \cdot \mathbf {J} =\nabla \cdot (\mathbf {J} _{\text{app}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\mathbf {E} )=0

( 2 )

Тогда, подставив ( 1 ) в ( 2 ) $\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{\text{app}}=I_{v}$

в котором $I_{v}$ - ток на единицу объема. ^[1]

Наконец, поскольку, кроме сердца, внутри туловища нет источника тока, ток в единице объема можно положить равным нулю, что дает обобщенное уравнение Лапласа, которое представляет собой стандартную формулировку диффузионной задачи внутри туловища. ^[1] $\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.$

Граничное условие

Граничные условия учитывают свойства среды, окружающей туловище, то есть воздуха вокруг тела. Как правило, воздух имеет нулевую проводимость, что означает, что ток не может течь за пределы туловища. Это переводится в следующее уравнение ^[1] ${\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}$

где $\mathbf {n} _{T}$ является ли единица внешней нормалью к туловищу и $\Gamma _{T}$ — граница туловища, то есть поверхность туловища. ^[1]^[2]

Проводимость туловища

Обычно считается, что туловище имеет изотропную проводимость, а это означает, что ток течет одинаково во всех направлениях. Однако туловище не является пустой или однородной оболочкой, а содержит разные органы, характеризующиеся разными коэффициентами проводимости, которые можно получить экспериментально. Простой пример параметров проводимости туловища с учетом костей и легких представлен в следующей таблице. ^[2]

Значения проводимости туловища. ^[2]
$\sigma _{T}^{\text{lungs}}$	$\sigma _{T}^{\text{bones}}$	$\sigma _{T}^{\text{remaining regions}}$
(С/см)	(С/см)	(С/см)
$2.4\times 10^{-4}$	$4\times 10^{-5}$	$6\times 10^{-4}$

Модели сердце-торс

Связь между моделью электрической активности и моделью туловища достигается посредством подходящих граничных условий в эпикарде, т.е. на поверхности раздела между сердцем и туловищем. ^[1]^[2]

Модель «сердце-туловище» может быть полностью связанной, если рассматривается идеальная электрическая передача между двумя доменами, или может быть разделена, если электрическая модель сердца и модель туловища решаются отдельно с ограниченным или несовершенным обменом информацией между ними. ^[2]

Полностью соединенные модели «сердце-туловище»

Полная связь между сердцем и туловищем достигается благодаря идеальному состоянию электрической передачи между сердцем и туловищем. Это делается с учетом следующих двух уравнений, которые устанавливают связь между внеклеточным потенциалом и потенциалом туловища. ^[2] ${\begin{aligned}u_{e}&=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{\text{on }}\Sigma .\end{aligned}}$ Эти уравнения обеспечивают непрерывность как потенциала, так и тока через эпикард. ^[2]

Используя эти граничные условия, можно получить две разные полностью связанные модели сердце-туловище, рассматривая либо бидоменную, либо монодоменную модель электрической активности сердца. С численной точки зрения, обе модели очень дороги в вычислительном отношении и имеют схожие вычислительные затраты. ^[2]

Альтернативные граничные условия

Граничные условия, которые представляют собой идеальную электрическую связь между сердцем и туловищем, являются наиболее используемыми и классическими. Однако между сердцем и туловищем находится перикард — мешок с двойной стенкой, содержащий серозную жидкость, оказывающую специфическое влияние на электрическую передачу. Учитывая емкость $C_{p}$ и резистивный $R_{p}$ эффект, который оказывает перикард, альтернативные граничные условия, учитывающие этот эффект, можно сформулировать следующим образом ^[10] ${\begin{aligned}R_{p}{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &=R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad &{\text{on }}\Sigma \end{aligned}}$

Формулировка с использованием модели бидомена

Полностью связанная модель «сердце-туловище», учитывающая бидоменную модель электрической активности сердца, в ее полной форме выглядит следующим образом: ^[2] ${\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}$ где первые четыре уравнения представляют собой уравнения в частных производных , представляющие модель бидомена, ионную модель и модель туловища, а остальные представляют собой граничные условия для моделей бидомена и торса и условия связи между ними. ^[2]

Формулировка с использованием монодоменной модели

Полностью связанная модель сердце-туловище, рассматривающая монодоменную модель электрической активности сердца, более сложна, чем проблема бидомена. Действительно, условия связи связывают потенциал туловища с внеклеточным потенциалом, который не рассчитывается с помощью монодоменной модели. Таким образом, необходимо использовать также второе уравнение бидоменной модели (при тех же предположениях, при которых выводится монодоменная модель), что дает: ^[2] $\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.$

Таким образом, условия связи не нужно менять, и полная модель сердца и туловища состоит из двух разных блоков: ^[2]

Сначала необходимо решить монодоменную модель с обычными граничными условиями: ${\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}$
Затем необходимо решить связанную модель, включающую расчет внеклеточного потенциала, модель туловища и условия связи: ${\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}$

Несвязанные модели сердце-торс

Полностью связанные модели «сердце-туловище» являются очень подробными моделями, но их решение требует больших вычислительных затрат. ^[2] Возможное упрощение дает так называемое несвязанное предположение , согласно которому сердце считается полностью электрически изолированным от сердца. ^[2] Математически это делается исходя из того, что ток не может течь по эпикарду, от сердца к туловищу, а именно ^[2] ${\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma .$

Применяя это уравнение к граничным условиям полностью связанных моделей, можно получить две несвязанные модели сердце-туловище, в которых электрические модели могут решаться отдельно от модели туловища, что снижает вычислительные затраты. ^[2]

Несвязанная модель сердца-туловища с моделью бидомена

Несвязанная версия полностью связанной модели «сердце-туловище», в которой бидомен используется для представления электрической активности сердца, состоит из двух отдельных частей: ^[2]

Бидоменная модель в изолированной форме ${\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma .\end{cases}}$
Диффузионная модель торса в стандартной формулировке с условием потенциальной непрерывности ${\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}$

Несвязанная модель сердца-туловища с моделью модомена

Как и в случае с полностью связанной моделью сердце-туловище, в которой используется монодоменная модель, в соответствующей несвязанной модели необходимо рассчитать внеклеточный потенциал. В этом случае необходимо решить три разные и независимые задачи: ^[2]

Монодоменная модель с обычным граничным условием: ${\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}$
Задача расчета внеклеточного потенциала с граничным условием на эпикарде, не предписывающим внутриклеточный ток: ${\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}$
Диффузионная модель туловища с граничным условием непрерывности потенциала в эпикарде: ${\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}$

Расчет электрокардиограммы

Решение полностью связанных или несвязанных моделей сердце-туловище позволяет получить электрический потенциал, генерируемый сердцем в каждой точке туловища человека, и в частности на всей поверхности туловища. Определив положение электродов на туловище, можно найти временную эволюцию потенциала в таких точках. Затем можно рассчитать электрокардиограммы , например, по 12 стандартным отведениям, учитывая следующие формулы: ^[2] ${\begin{cases}\mathrm {I} &=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\\mathrm {II} &=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots ,6\end{cases}}$ где $u_{W}=(u_{T}(L)+u_{T}(R)+u_{T}(F))/3$ и $L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1}^{6}$ — стандартные места расположения электродов. ^[2]

Численные методы

Модели «сердце-туловище» выражаются в виде уравнений в частных производных , неизвестные которых являются функцией как пространства, так и времени. Они, в свою очередь, связаны с ионной моделью, которая обычно выражается через систему обыкновенных дифференциальных уравнений . Для решения этих задач можно использовать различные численные схемы. Обычно для дискретизации пространства применяется метод конечных элементов , а для дискретизации времени используются полунеявные конечно-разностные схемы. ^[1]^[2]

Несвязанную модель сердце-туловище проще всего рассматривать численно, поскольку электрическую модель сердца можно решить отдельно от модели туловища, так что для решения каждой из них можно применить классические численные методы. Это означает, что модели бидомена и монодомена могут быть решены, например, с помощью формулы обратного дифференцирования для дискретизации по времени, в то время как проблемы вычисления внеклеточного потенциала и потенциала туловища могут быть легко решены, применяя только метод конечных элементов, поскольку они не зависят от времени. . ^[1]^[2]

Напротив, полностью связанные модели «сердце-туловище» более сложны и требуют более сложных численных моделей. Например, полностью модель сердца-туловища, которая использует модель бидомена для электрического моделирования поведения сердца, может быть решена с использованием методов декомпозиции доменов , таких как декомпозиция доменов Дирихле-Неймана. ^[2]^[11]

Геометрическая модель туловища

Трехмерная модель туловища, включая большинство органов. ^[12]

Для моделирования электрокардиограммы с использованием полностью связанных или несвязанных моделей необходима трехмерная реконструкция туловища человека. Сегодня методы диагностической визуализации, такие как МРТ и КТ, могут обеспечить достаточно точные изображения, позволяющие детально реконструировать анатомические части человека и, таким образом, получить подходящую геометрию туловища.Например, видимые человеческие данные ^[13] — это полезный набор данных для создания трехмерной модели туловища с подробным описанием внутренних органов, включая скелетную структуру и мышцы. ^[1]

Динамическая модель электрокардиограммы

Даже если результаты достаточно подробные, решение трехмерной модели обычно обходится довольно дорого. Возможным упрощением является динамическая модель, основанная на трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнениях. ^[3]

Квазипериодичность сердцебиения воспроизводится трехмерной траекторией вокруг притягивающего предельного цикла в $(x,y)$ самолет. Основные пики ЭКГ, а именно P, Q, R, S и T, описываются под фиксированными углами. $\theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}$ , которые дают следующие три ОДУ ^[3]

${\begin{aligned}x'&=\alpha z-\omega y\\[1ex]y'&=\alpha y+\omega x\\[1ex]z'&=\textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{aligned}}$ с ${\textstyle \alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ , $\Delta \theta _{i}=(\theta -\theta _{i}){\bmod {(}}2\pi )$ , $\theta ={\text{atan}}2(y,x)$

Уравнения можно легко решить с помощью классических численных алгоритмов, таких как методы Рунге-Кутты для ОДУ. ^[3]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в Пуллан, Эндрю Дж.; Буист, Мартин Л.; Ченг, Лео К. (2005). Математическое моделирование электрической активности сердца: от клетки к поверхности тела и обратно . Всемирная научная. ISBN 978-9812563736 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из Булакия, Мюриэль; Казо, Серж; Фернандес, Мигель А.; Жербо, Жан-Фредерик; Земземи, Неджиб (24 декабря 2009 г.). «Математическое моделирование электрокардиограмм: численное исследование» (PDF) . Анналы биомедицинской инженерии . 38 (3): 1071–1097. дои : 10.1007/s10439-009-9873-0 . ПМИД 20033779 . S2CID 10114284 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д МакШарри, ЧП; Клиффорд, Джорджия; Тарасенко Л.; Смит, Луизиана (март 2003 г.). «Динамическая модель генерации синтетических сигналов электрокардиограммы». Транзакции IEEE по биомедицинской инженерии . 50 (3): 289–294. CiteSeerX 10.1.1.65.2929 . дои : 10.1109/TBME.2003.808805 . ПМИД 12669985 . S2CID 544816 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Линии, GT; Буист, М.Л.; Гроттум, П.; Пуллан, Эй Джей; Сунднес, Дж.; Твейто, А. (1 июля 2002 г.). «Математические модели и численные методы решения прямой задачи электрофизиологии сердца». Вычисления и визуализация в науке . 5 (4): 215–239. дои : 10.1007/s00791-003-0101-4 . S2CID 123211416 .
^ Эйнтховен, Уоллер (1903). «Гальванометрическая регистрация электрокардиограммы человека, одновременно оценка применения капиллярного электрометра в физиологии» . Архив Пфлюгера . 99 (9–10): 472–480. дои : 10.1007/BF01811855 . S2CID 10400303 .
^ Энрикес, CS; Плонси, Р. (1987). «Влияние резистивных разрывов на форму волны и скорость в одном сердечном волокне». Мед. Биол. англ. Вычислить . 25 (4): 428–438. дои : 10.1007/BF02443364 . ПМИД 3450994 . S2CID 3038844 .
^ Мюллер-Борер, Б.Дж.; Эрдман, диджей; Бьюкенен, JW (1994). «Электрическая связь и распространение импульса в анатомически смоделированной ткани желудочка». IEEE Транс. Биомед. англ . 41 (5): 445–454. дои : 10.1109/10.293219 . ПМИД 8070804 . S2CID 14407776 .
^ Хрен, Р.; Ненонен, Дж.; Горачек, Б.М. (1998). «Смоделированные карты эпикардиального потенциала во время кардиостимуляции отражают фиброзную структуру миокарда». Анналы биомедицинской инженерии . 26 (6): 1022–1035. дои : 10.1114/1.73 . ПМИД 9846940 . S2CID 9978399 .
^ Кинер, Джеймс; Снейд, Джеймс (2009). Математическая физиология 2009: системная физиология II (2-е издание). Спрингер. ISBN 978-1-4939-3709-7 .
^ Булакия, Мюриэль; Фернандес, Мигель А.; Жербо, Жан-Фредерик; Земземи, Неджиб (2007). «К численному моделированию электрокардиограмм». Функциональная визуализация и моделирование сердца . Конспекты лекций по информатике. Том. 4466. Спрингер. стр. 240–249. дои : 10.1007/978-3-540-72907-5_25 . ISBN 978-3-540-72906-8 .
^ Фернандес, Мигель А.; Земземи, Неджиб (1 июля 2010 г.). «Раздельные схемы движения во времени в вычислительной электрофизиологии сердца и численном моделировании ЭКГ» (PDF) . Математические биологические науки . 226 (1): 58–75. дои : 10.1016/j.mbs.2010.04.003 . ISSN 0025-5564 . ПМИД 20416327 . S2CID 8792966 .
^ Феррер, Ана; Себастьян, Рафаэль; Санчес-Кинтана, Дамиан; Родригес, Хосе Ф.; Годой, Эдуардо Дж.; Мартинес, Лаура; Саиз, Хавьер (2 ноября 2015 г.). «Детальные анатомические и электрофизиологические модели предсердий и туловища человека для моделирования активации предсердий» . ПЛОС ОДИН . 10 (11): e0141573. Бибкод : 2015PLoSO..1041573F . дои : 10.1371/journal.pone.0141573 . ISSN 1932-6203 . ПМЦ 4629897 . ПМИД 26523732 .
^ Спитцер, В.; Акерман, MJ; Шерзингер, Алабама; Уитлок, Д. (1 марта 1996 г.). «Видимый человеческий мужчина: технический отчет» . Журнал Американской ассоциации медицинской информатики . 3 (2): 118–130. дои : 10.1136/jamia.1996.96236280 . ПМК 116294 . ПМИД 8653448 .

[Pullan-2005-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в Пуллан, Эндрю Дж.; Буист, Мартин Л.; Ченг, Лео К. (2005). Математическое моделирование электрической активности сердца: от клетки к поверхности тела и обратно . Всемирная научная. ISBN 978-9812563736 .

[Boulakia-2009-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т ^в ^v ^В ^х ^и ^С ^аа ^аб ^и ^{объявление} ^но ^из Булакия, Мюриэль; Казо, Серж; Фернандес, Мигель А.; Жербо, Жан-Фредерик; Земземи, Неджиб (24 декабря 2009 г.). «Математическое моделирование электрокардиограмм: численное исследование» (PDF) . Анналы биомедицинской инженерии . 38 (3): 1071–1097. дои : 10.1007/s10439-009-9873-0 . ПМИД 20033779 . S2CID 10114284 .

[McSharry-2003-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д МакШарри, ЧП; Клиффорд, Джорджия; Тарасенко Л.; Смит, Луизиана (март 2003 г.). «Динамическая модель генерации синтетических сигналов электрокардиограммы». Транзакции IEEE по биомедицинской инженерии . 50 (3): 289–294. CiteSeerX 10.1.1.65.2929 . дои : 10.1109/TBME.2003.808805 . ПМИД 12669985 . S2CID 544816 .

[Lines_-2002-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Линии, GT; Буист, М.Л.; Гроттум, П.; Пуллан, Эй Джей; Сунднес, Дж.; Твейто, А. (1 июля 2002 г.). «Математические модели и численные методы решения прямой задачи электрофизиологии сердца». Вычисления и визуализация в науке . 5 (4): 215–239. дои : 10.1007/s00791-003-0101-4 . S2CID 123211416 .

[Einthoven_-_1903-5] Эйнтховен, Уоллер (1903). «Гальванометрическая регистрация электрокардиограммы человека, одновременно оценка применения капиллярного электрометра в физиологии» . Архив Пфлюгера . 99 (9–10): 472–480. дои : 10.1007/BF01811855 . S2CID 10400303 .

[Henriquez-1987-6] Энрикес, CS; Плонси, Р. (1987). «Влияние резистивных разрывов на форму волны и скорость в одном сердечном волокне». Мед. Биол. англ. Вычислить . 25 (4): 428–438. дои : 10.1007/BF02443364 . ПМИД 3450994 . S2CID 3038844 .

[Muller-Borer-7] Мюллер-Борер, Б.Дж.; Эрдман, диджей; Бьюкенен, JW (1994). «Электрическая связь и распространение импульса в анатомически смоделированной ткани желудочка». IEEE Транс. Биомед. англ . 41 (5): 445–454. дои : 10.1109/10.293219 . ПМИД 8070804 . S2CID 14407776 .

[Hren-1998-8] Хрен, Р.; Ненонен, Дж.; Горачек, Б.М. (1998). «Смоделированные карты эпикардиального потенциала во время кардиостимуляции отражают фиброзную структуру миокарда». Анналы биомедицинской инженерии . 26 (6): 1022–1035. дои : 10.1114/1.73 . ПМИД 9846940 . S2CID 9978399 .

[9] Кинер, Джеймс; Снейд, Джеймс (2009). Математическая физиология 2009: системная физиология II (2-е издание). Спрингер. ISBN 978-1-4939-3709-7 .

[Boulakia-2007-10] Булакия, Мюриэль; Фернандес, Мигель А.; Жербо, Жан-Фредерик; Земземи, Неджиб (2007). «К численному моделированию электрокардиограмм». Функциональная визуализация и моделирование сердца . Конспекты лекций по информатике. Том. 4466. Спрингер. стр. 240–249. дои : 10.1007/978-3-540-72907-5_25 . ISBN 978-3-540-72906-8 .

[Fernández-11] Фернандес, Мигель А.; Земземи, Неджиб (1 июля 2010 г.). «Раздельные схемы движения во времени в вычислительной электрофизиологии сердца и численном моделировании ЭКГ» (PDF) . Математические биологические науки . 226 (1): 58–75. дои : 10.1016/j.mbs.2010.04.003 . ISSN 0025-5564 . ПМИД 20416327 . S2CID 8792966 .

[12] Феррер, Ана; Себастьян, Рафаэль; Санчес-Кинтана, Дамиан; Родригес, Хосе Ф.; Годой, Эдуардо Дж.; Мартинес, Лаура; Саиз, Хавьер (2 ноября 2015 г.). «Детальные анатомические и электрофизиологические модели предсердий и туловища человека для моделирования активации предсердий» . ПЛОС ОДИН . 10 (11): e0141573. Бибкод : 2015PLoSO..1041573F . дои : 10.1371/journal.pone.0141573 . ISSN 1932-6203 . ПМЦ 4629897 . ПМИД 26523732 .

[Spitzer-13] Спитцер, В.; Акерман, MJ; Шерзингер, Алабама; Уитлок, Д. (1 марта 1996 г.). «Видимый человеческий мужчина: технический отчет» . Журнал Американской ассоциации медицинской информатики . 3 (2): 118–130. дои : 10.1136/jamia.1996.96236280 . ПМК 116294 . ПМИД 8653448 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]