Канза метод

Метод Канзы — это компьютерный метод, используемый для решения уравнений в частных производных . Его главное преимущество – его очень легко понять и программировать на компьютере. Это гораздо проще, чем метод конечных элементов . Еще одним преимуществом является то, что он хорошо работает при решении задач с несколькими переменными. Метод конечных элементов усложняется при работе с более чем тремя пространственными переменными и временем.

Метод Канза можно объяснить аналогией с баскетбольной площадкой с множеством лампочек, подвешенных по всему потолку. Вы определяете яркость каждой лампочки так, чтобы желаемая интенсивность света непосредственно на полу баскетбольной площадки под каждой лампочкой решала дифференциальное уравнение в этой точке. Итак, если над баскетбольной площадкой подвешено 100 лампочек; интенсивность света в любой точке баскетбольной площадки приближается к интенсивности света, которая приблизительно решает дифференциальное уравнение в любом месте баскетбольной площадки. Простая компьютерная программа может путем итерации определить яркость каждой лампочки, что упрощает программирование этого метода. Этот метод не требует взвешенных остатков (Галеркин), интегрирования или сложной математики.

Э. Дж. Канса в самом начале 1990-х годов предпринял первую попытку расширить радиальную базисную функцию (RBF), которая тогда была довольно популярна в обработке разрозненных данных и аппроксимации функций, до решения уравнений в частных производных в формулировке коллокации в сильной форме. Его метод коллокации RBF по своей сути является бессеточным, легко программируемым и математически очень простым для изучения. Вскоре этот метод стал известен в академическом сообществе как метод Канзы.

Поскольку RBF использует одномерную переменную евклидова расстояния независимо от размерности, метод Канзы не зависит от размерности и геометрической сложности интересующих задач. Этот метод представляет собой численный метод доменного типа в том смысле, что задача дискретизируется не только на границе, чтобы удовлетворить граничным условиям, но и внутри области, чтобы удовлетворить основному уравнению.

Напротив, существует другой тип численных методов RBF, называемый методом коллокации RBF граничного типа, такой как метод фундаментального решения , метод граничных узлов , метод сингулярной границы , метод граничных частиц и регуляризованный бессеточный метод, в котором базисные функции , также известная как функция ядра, удовлетворяет основному уравнению и часто является фундаментальным решением или общим решением основного уравнения. Следовательно, требуется только граничная дискретизация.

Поскольку RBF в методе Канза не обязательно удовлетворяет основному уравнению, у человека есть больше свободы в выборе RBF. Самым популярным RBF в методе Канза является мультиквадрик (MQ), который обычно показывает спектральную точность, если выбран соответствующий параметр формы.

Описание

Метод Канса , также называемый модифицированной схемой MQ или методом коллокации MQ, произошел от известной интерполяции MQ. Эффективность и применимость этого метода проверены на широком круге задач. По сравнению с методами коллокации RBF граничного типа метод Канзы имеет более широкую применимость к задачам, фундаментальные и общие решения которых недоступны, например, к задачам с варьирующимися коэффициентами и нелинейным задачам.

Формулировка

Пусть d -мерная физическая область $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ и рассмотрим следующую краевую задачу (БВП)

{\begin{aligned}Lu(X)&=f(X),\quad X\in \Omega ,&&(1)\\[4pt]u(X)&=g(X),\quad X\in \partial \Omega _{D},&&(2)\\[4pt]{\frac {\partial u(X)}{\partial n}}&=h(X),\quad X\in \partial \Omega _{N},&&(3)\end{aligned}}

где L представляет собой дифференциальный оператор, а d — размерность задачи, $\partial \Omega _{D},\,\partial \Omega _{N}$ обозначают границы Дирихле и Неймана соответственно, а $\partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega$ . Метод Канзы аппроксимирует искомую функцию линейной комбинацией RBF в виде:

u(X)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i}),\qquad (4)

где $\alpha _{i}$ коэффициенты, подлежащие определению, $\varphi (r_{i})$ обозначает RBF, такой как MQ.

Чтобы гарантировать единственность решения, можно добавить полиномиальный член следующим образом:

u(X)^{*}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\varphi (r_{i})+\sum _{k=1}^{M}\alpha _{k+N}\gamma _{k}(X),\qquad (5)

где $\gamma _{k}(X)$ является полиномом. RBF-интерполяция (4) и (5) часто используются на практике. Математики предпочитают последний из-за его строгой и прочной теоретической основы, в то время как инженеры часто используют первый, поскольку он легче и проще и в большинстве случаев дает хорошие результаты. Подставив уравнение (4) или (5) в уравнения. (1–3) дает результирующую систему алгебраических уравнений:

\mathbf {A} \alpha =b,\qquad (6)

где

\mathbf {A} =\left({\begin{matrix}L(\varphi )&L(\gamma )\\[5pt]\varphi &\gamma \\[8pt]{\dfrac {\partial \varphi }{\partial n}}&{\dfrac {\partial \gamma }{\partial n}}\\[8pt]\gamma &0\end{matrix}}\right),\quad \mathbf {b} =\left({\begin{matrix}f\\g\\h\\0\end{matrix}}\right),\quad \varphi =\varphi (x_{i},x_{j}),\quad \gamma =\gamma _{k}(X_{i}).\qquad (7)

После коэффициентов расширения $\alpha _{i}$ оцениваются, искомая функция может быть рассчитана по уравнению. (4) или (5).

История и последние события

Численные решения УЧП обычно получаются с помощью метода конечных разностей (FDM), метода конечных элементов (FEM) или метода граничных элементов (BEM). Известно, что с помощью FDM сложно моделировать нерегулярную область, поскольку обычно требуется прямоугольная сетка. Хотя FEM может использовать более гибкую структуру, построение сетки и повторное создание сетки не являются тривиальными. БЭМ — это альтернативный метод в некоторых инженерных задачах, таких как задачи обратной, неограниченной области и тонкостенных структур. Однако его применение во многом ограничено наличием фундаментального решения основного уравнения.

В последние несколько десятилетий большое внимание привлекают «бессеточные» или «безэлементные» методы. Движущей силой является то, что методы на основе сеток, такие как стандартные FEM и BEM, требуют непомерно больших вычислительных усилий для решения многомерных, движущихся и сложных по форме граничных задач. Метод Канза ^[1]^[2] непосредственно размещает RBF, особенно MQ, в узлах без необходимости использования сетки или элементов и, следовательно, по своей сути является действительно бессеточным методом.

Несмотря на большие усилия, строгое математическое доказательство разрешимости метода Канзы до сих пор отсутствует. ^[3] Кроме того, смешанные граничные условия также нарушают симметрию интерполяционной матрицы. Ссылки. ^[4]^[5] предложить симметричную коллокационную схему Эрмита RBF с тщательным математическим анализом разрешимости. Однако одна общая проблема в методе Канзы и симметричном методе Эрмита заключается в том, что численные решения в узлах, прилегающих к границе, ухудшаются на один-два порядка по сравнению с решениями в центральной области. Коллокация PDE на границе (PDECB) ^[6] эффективно устранить этот недостаток. Однако эта стратегия требует дополнительного набора узлов внутри или за пределами домена, примыкающего к границе. Произвольное размещение этих дополнительных узлов приводит к проблемам при моделировании сложных и многосвязных предметных задач. PDECB также не имеет явной теоретической поддержки. Фактически, аналогичная стратегия также была предложена, ^[7] который совмещает как управляющие, так и граничные уравнения в одних и тех же граничных узлах. Однако метод несимметричен и пока не имеет четкого теоретического обоснования. Используя второе тождество Грина, модифицированный метод Канзы ^[8]^[9] призван устранить все вышеупомянутые недостатки. Для MQ параметр формы во многом определяет ошибку интерполяции. Существует ряд математических теорий, касающихся семейства мультиквадрических радиальных базисных функций и дающих некоторые предложения по выбору параметра формы. ^[10]^[11]^[12]^[13]

Метод Канзы широко применяется в вычислительной науке. В, ^[1] метод Кансы используется для решения параболических, гиперболических и эллиптических уравнений в частных производных. Метод Канзы недавно был распространен на различные обычные и PDE, включая двухфазные и трехфазные смешанные модели проблем тканевой инженерии. ^[14]^[15] 1D нелинейное уравнение Бюргера ^[16] с ударной волной, уравнения мелкой воды ^[17] для моделирования приливов и течений, задач теплопередачи, ^[18] проблемы со свободными границами, ^[19] и уравнения дробной диффузии. ^[20]

См. также

Внешние ссылки

Модифицированный метод Канзы

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Э. Дж. Канса, «Мультиквадрика — схема аппроксимации разбросанных данных с приложениями к вычислительной гидродинамике — решения II параболических, гиперболических и эллиптических уравнений в частных производных», Computers & Mathematics with Applications, vol. 19, стр. 147–161, 1990.
^ Дж. Ли и др., «Сравнение эффективности и сходимости ошибок метода многоквадрической коллокации и метода конечных элементов», Инженерный анализ с граничными элементами, том. 27, стр. 251–257, 2003.
^ YC Hon и Р. Шабак, «О несимметричном коллокировании радиальными базисными функциями», Applied Mathematics and Computation, vol. 119, стр. 177–186, 2001.
^ К. Франке и Р. Шабак, «Решение уравнений в частных производных путем коллокации с использованием радиальных базисных функций», Applied Mathematics and Computation, vol. 93, стр. 73–82, 1998.
^ Г. Э. Фассхауэр, «Решение уравнений в частных производных путем коллокации», 1996, стр. 1.
^ А. И. Федосеев и др., «Улучшенный мультиквадрический метод для эллиптических уравнений в частных производных посредством коллокации PDE на границе», Computers & Mathematics with Applications, vol. 43, стр. 439–455, 2002.
^ X. Чжан и др., «Бессеточные методы, основанные на коллокации с радиальными базисными функциями», Вычислительная механика, том. 26, стр. 333–343, 2000.
^ В. Чен, «Новые методы коллокации RBF и ядро RBF с приложениями: бессеточные методы для уравнений в частных производных». том. 26, М. Грибель и М. А. Швейцер, ред., изд.: Springer Berlin Heidelberg, 2002, стр. 75–86.
^ В. Чен и М. Танака, «Новые идеи в методах RBF только по границам и доменному типу», препринт Arxiv cs/0207017, 2002.
^ Р. Л. Харди, «Мультиквадрические уравнения топографии и других нерегулярных поверхностей», J. Geophys. Рез., том. 76, стр. 1905–1915, 1971.
^ Р. Франке, «Интерполяция разбросанных данных: проверка некоторого метода», Математика вычислений, том. 38, стр. 181–200, 1982.
^ Э. Дж. Канса и Р. Э. Карлсон, «Повышение точности мультиквадрической интерполяции с использованием переменных параметров формы», « Компьютеры и математика с приложениями», том. 24, стр. 99–120, 1992.
^ CAH-D, «Мультиквадрика и ее параметр формы. Численное исследование оценки ошибки, числа обусловленности и ошибки округления с помощью вычислений произвольной точности», Инженерный анализ с граничными элементами, том. 36, стр. 220–239, 2012.
^ YC Hon и др., «Мультиквадрический метод численного решения модели двухфазной смеси», Applied Mathematics and Computation, vol. 88, стр. 153–175, 1997.
^ YC Hon и др., «Новая формулировка и расчет трехфазной модели для механо-электрохимических смесей», Computational Mechanics, vol. 24, стр. 155–165, 1999.
^ YC Hon и XZ Mao, «Эффективная численная схема для уравнения Бюргерса», Applied Mathematics and Computation, vol. 95, стр. 37–50, 1998.
^ Ю.-К. Хон и др., «Мультиквадрическое решение для уравнений мелкой воды», Journal of Hydraulic Engineering, vol. 125, стр. 524–533, 1999.
^ М. Зеррукат и др., «Численный метод решения задач теплопередачи с использованием коллокационных и радиальных базисных функций», Международный журнал численных методов в технике, том. 42, стр. 1263–1278, 1998.
^ Дж. Перко и др., «Численное решение устойчивой естественной конвекции без полигонов в системах твердое тело-жидкость», Вычислительное моделирование задач с движущимися и свободными границами, стр. 111–122, 2001.
^ В. Чен и др., «Уравнения дробной диффузии по методу Канзы», Computers & Mathematics with Applications, vol. 59, стр. 1614–1620, 2010.

[Chena-1] Jump up to: ^а ^б Э. Дж. Канса, «Мультиквадрика — схема аппроксимации разбросанных данных с приложениями к вычислительной гидродинамике — решения II параболических, гиперболических и эллиптических уравнений в частных производных», Computers & Mathematics with Applications, vol. 19, стр. 147–161, 1990.

[2] Дж. Ли и др., «Сравнение эффективности и сходимости ошибок метода многоквадрической коллокации и метода конечных элементов», Инженерный анализ с граничными элементами, том. 27, стр. 251–257, 2003.

[3] YC Hon и Р. Шабак, «О несимметричном коллокировании радиальными базисными функциями», Applied Mathematics and Computation, vol. 119, стр. 177–186, 2001.

[4] К. Франке и Р. Шабак, «Решение уравнений в частных производных путем коллокации с использованием радиальных базисных функций», Applied Mathematics and Computation, vol. 93, стр. 73–82, 1998.

[5] Г. Э. Фассхауэр, «Решение уравнений в частных производных путем коллокации», 1996, стр. 1.

[6] А. И. Федосеев и др., «Улучшенный мультиквадрический метод для эллиптических уравнений в частных производных посредством коллокации PDE на границе», Computers & Mathematics with Applications, vol. 43, стр. 439–455, 2002.

[7] X. Чжан и др., «Бессеточные методы, основанные на коллокации с радиальными базисными функциями», Вычислительная механика, том. 26, стр. 333–343, 2000.

[8] В. Чен, «Новые методы коллокации RBF и ядро RBF с приложениями: бессеточные методы для уравнений в частных производных». том. 26, М. Грибель и М. А. Швейцер, ред., изд.: Springer Berlin Heidelberg, 2002, стр. 75–86.

[9] В. Чен и М. Танака, «Новые идеи в методах RBF только по границам и доменному типу», препринт Arxiv cs/0207017, 2002.

[10] Р. Л. Харди, «Мультиквадрические уравнения топографии и других нерегулярных поверхностей», J. Geophys. Рез., том. 76, стр. 1905–1915, 1971.

[11] Р. Франке, «Интерполяция разбросанных данных: проверка некоторого метода», Математика вычислений, том. 38, стр. 181–200, 1982.

[12] Э. Дж. Канса и Р. Э. Карлсон, «Повышение точности мультиквадрической интерполяции с использованием переменных параметров формы», « Компьютеры и математика с приложениями», том. 24, стр. 99–120, 1992.

[13] CAH-D, «Мультиквадрика и ее параметр формы. Численное исследование оценки ошибки, числа обусловленности и ошибки округления с помощью вычислений произвольной точности», Инженерный анализ с граничными элементами, том. 36, стр. 220–239, 2012.

[14] YC Hon и др., «Мультиквадрический метод численного решения модели двухфазной смеси», Applied Mathematics and Computation, vol. 88, стр. 153–175, 1997.

[15] YC Hon и др., «Новая формулировка и расчет трехфазной модели для механо-электрохимических смесей», Computational Mechanics, vol. 24, стр. 155–165, 1999.

[16] YC Hon и XZ Mao, «Эффективная численная схема для уравнения Бюргерса», Applied Mathematics and Computation, vol. 95, стр. 37–50, 1998.

[17] Ю.-К. Хон и др., «Мультиквадрическое решение для уравнений мелкой воды», Journal of Hydraulic Engineering, vol. 125, стр. 524–533, 1999.

[18] М. Зеррукат и др., «Численный метод решения задач теплопередачи с использованием коллокационных и радиальных базисных функций», Международный журнал численных методов в технике, том. 42, стр. 1263–1278, 1998.

[19] Дж. Перко и др., «Численное решение устойчивой естественной конвекции без полигонов в системах твердое тело-жидкость», Вычислительное моделирование задач с движущимися и свободными границами, стр. 111–122, 2001.

[20] В. Чен и др., «Уравнения дробной диффузии по методу Канзы», Computers & Mathematics with Applications, vol. 59, стр. 1614–1620, 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]