Обобщенный фильтр Винера

Фильтр Винера , первоначально предложенный Норбертом Винером, представляет собой обработки сигналов фильтр , который использует знания статистических свойств как сигнала, так и шума для восстановления оптимальной оценки сигнала из зашумленного одномерного потока упорядоченных по времени данных. Обобщенный фильтр Винера обобщает ту же идею за пределами области одномерной упорядоченной по времени обработки сигналов, причем обработка двумерных изображений . наиболее распространенным применением является ^[1]

Описание

данных Рассмотрим вектор $d$ который представляет собой сумму независимых векторов сигнала и шума $d=s+n$ с нулевым средним и ковариациями $\langle ss^{T}\rangle =S$ и $\langle nn^{T}\rangle =N$ . Обобщенный фильтр Винера — это линейный оператор $G$ который минимизирует ожидаемую разность между оцененным сигналом и истинным сигналом, $e=\langle (Gd-s)^{T}(Gd-s)\rangle$ . $G$ это сводит к минимуму это $G=S(S+N)^{-1}$ , что приводит к оценке Винера ${\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d$ . В случае гауссово распределенного сигнала и шума эта оценка также является максимальной апостериорной оценкой .

Обобщенный фильтр Винера приближается к 1 для частей данных с преобладанием сигнала и S/N для частей с преобладанием шума.

Часто встречающийся вариант выражает фильтр в терминах обратных ковариаций. Это математически эквивалентно, но позволяет избежать чрезмерной потери числовой точности при наличии режимов с высокой дисперсией. В этой формулировке обобщенный фильтр Винера принимает вид $G=(S^{-1}+N^{-1})^{-1}N^{-1}$ используя личность $A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(A+B)B^{-1}$ .

Пример

Космический микроволновый фон (CMB) представляет собой однородное и изотропное случайное поле , и поэтому его ковариация является диагональной в базисе сферических гармоник . Любое наблюдение реликтового излучения будет зашумлено, причем шум обычно имеет другие статистические свойства, чем реликтовое излучение. Например, оно может быть некоррелированным в пространстве пикселей. Обобщенный фильтр Винера использует эту разницу в поведении, чтобы максимально изолировать сигнал от шума.

Оценка сигнала, отфильтрованная по Винеру (в данном случае CMB) ${\hat {s}}=S(S+N)^{-1}d$ требует инверсии обычно огромной матрицы $S+N$ . Если бы S и N были диагональными в одном и том же базисе, это было бы тривиально, но часто, как здесь, это не так. Решение в этих случаях должно быть найдено путем решения эквивалентного уравнения $(S+N)S^{-1}{\hat {s}}=d$ , например, с помощью итерации сопряженных градиентов . В этом случае все умножения могут выполняться в соответствующем базисе для каждой матрицы, избегая необходимости сохранять или инвертировать больше, чем их диагональ. Результат можно увидеть на рисунке. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

^ Пратт, Уильям К. (июль 1972 г.). «Обобщенные методы вычислений с фильтрацией Винера» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . с-21 (7). дои : 10.1109/tc.1972.223567 . Проверено 4 октября 2014 г.

[pratt-1] Пратт, Уильям К. (июль 1972 г.). «Обобщенные методы вычислений с фильтрацией Винера» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . с-21 (7). дои : 10.1109/tc.1972.223567 . Проверено 4 октября 2014 г.

[1]