Винеровская деконволюция

В математике представляет деконволюция Винера собой применение фильтра Винера для решения проблем шума, присущих деконволюции . Он работает в частотной области , пытаясь минимизировать влияние деконволюционного шума на частотах с плохим соотношением сигнал/шум .

Метод деконволюции Винера широко используется в приложениях деконволюции изображений , поскольку частотный спектр большинства визуальных изображений довольно хорошо ведет себя и его можно легко оценить.

Деконволюция Винера названа в честь Норберта Винера .

Определение

Учитывая систему:

\ y(t)=(h*x)(t)+n(t)

где $*$ обозначает свертку и:

$\ x(t)$ какой-то исходный сигнал (неизвестный) в данный момент времени $\ t$ .
$\ h(t)$ - известная импульсная характеристика линейной стационарной системы.
$\ n(t)$ — это некий неизвестный аддитивный шум, независимый от $\ x(t)$
$\ y(t)$ наш наблюдаемый сигнал

Наша цель — найти некоторые $\ g(t)$ чтобы мы могли оценить $\ x(t)$ следующее:

\ {\hat {x}}(t)=(g*y)(t)

где $\ {\hat {x}}(t)$ это оценка $\ x(t)$ что минимизирует среднеквадратическую ошибку

\ \epsilon (t)=\mathbb {E} \left|x(t)-{\hat {x}}(t)\right|^{2}

,

с $\ \mathbb {E}$ обозначающий ожидание .Фильтр деконволюции Винера обеспечивает такую возможность. $\ g(t)$ . Фильтр проще всего описать в частотной области :

\ G(f)={\frac {H^{*}(f)S(f)}{|H(f)|^{2}S(f)+N(f)}}

где:

$\ G(f)$ и $\ H(f)$ являются Фурье преобразованиями $\ g(t)$ и $\ h(t)$ ,
$\ S(f)=\mathbb {E} |X(f)|^{2}$ - средняя спектральная плотность мощности исходного сигнала $\ x(t)$ ,
$\ N(f)=\mathbb {E} |V(f)|^{2}$ - средняя спектральная плотность мощности шума $\ n(t)$ ,
$X(f)$ , $Y(f)$ , и $V(f)$ являются преобразованиями Фурье $x(t)$ , и $y(t)$ , и $n(t)$ , соответственно,
верхний индекс ${}^{*}$ обозначает комплексное сопряжение .

Операция фильтрации может выполняться либо во временной области, как указано выше, либо в частотной области:

\ {\hat {X}}(f)=G(f)Y(f)

а затем выполнить преобразование Фурье обратное $\ {\hat {X}}(f)$ чтобы получить $\ {\hat {x}}(t)$ .

Обратите внимание, что в случае изображений аргументы $\ t$ и $\ f$ вышеперечисленное становится двумерным; однако результат тот же.

Интерпретация

Работа фильтра Винера становится очевидной, если переписать приведенное выше уравнение фильтра:

{\begin{aligned}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}\left[{\frac {1}{1+1/(|H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f))}}\right]\end{aligned}}

Здесь, $\ 1/H(f)$ является обратной исходной системе, $\ \mathrm {SNR} (f)=S(f)/N(f)$ – отношение сигнал/шум , а $\ |H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f)$ – это отношение чистого отфильтрованного сигнала к спектральной плотности шума. Когда шум нулевой (т.е. бесконечное соотношение сигнал/шум), член в квадратных скобках равен 1, что означает, что фильтр Винера является просто обратной системой, как и следовало ожидать. Однако по мере увеличения шума на определенных частотах отношение сигнал/шум падает, поэтому член в квадратных скобках также уменьшается. Это означает, что фильтр Винера ослабляет частоты в соответствии с их отфильтрованным соотношением сигнал/шум.

Приведенное выше уравнение фильтра Винера требует от нас знания спектрального состава типичного изображения, а также содержания шума. Часто у нас нет доступа к этим точным количествам, но мы можем оказаться в ситуации, когда можно сделать точные оценки. Например, в случае фотографических изображений сигнал (исходное изображение) обычно имеет сильные низкие частоты и слабые высокие частоты, тогда как во многих случаях содержание шума будет относительно равномерным в зависимости от частоты.

Вывод

Как упоминалось выше, мы хотим получить оценку исходного сигнала, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку, которую можно выразить следующим образом:

\ \epsilon (f)=\mathbb {E} \left|X(f)-{\hat {X}}(f)\right|^{2}

.

Эквивалентность предыдущему определению $\epsilon$ , может быть получено с использованием теоремы Планшереля или теоремы Парсеваля для преобразования Фурье .