Рив тетраэдры
В геометрии — тетраэдры Рива это семейство многогранников в трехмерном пространстве с вершинами в точках (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (1, 1, r ). где r — целое положительное число. Они названы в честь Джона Рива , который в 1957 году использовал их, чтобы показать, что многомерных обобщений теоремы Пика не существует. [1]
Контрпример к обобщениям теоремы Пика
[ редактировать ]Все вершины тетраэдра Рива являются точками решетки (точками, координаты которых являются целыми числами ). Никакие другие точки решетки не лежат на поверхности или внутри тетраэдра . Объем ( 1 тетраэдра Рива с вершиной , 1, r ) равен r /6 . В 1957 году Рив использовал этот тетраэдр, чтобы показать, что существуют тетраэдры с четырьмя узлами решетки в качестве вершин и не содержащие других узлов решетки, но с сколь угодно большим объемом. [2]
В двух измерениях площадь каждого многогранника с решетчатыми вершинами определяется по формуле числа точек решетки в его вершинах, на его границе и внутри него, согласно теореме Пика . Тетраэдры Рива подразумевают, что не может быть соответствующей формулы для объема в трех или более измерениях. Любая такая формула не смогла бы отличить тетраэдры Рива с разным выбором r друг от друга, но все их объемы различны. [2]
Несмотря на этот отрицательный результат, можно (как показал Рив) разработать более сложную формулу для объема решетчатого многогранника, которая объединяет количество точек решетки в многограннике, количество точек более тонкой решетки в многограннике и эйлерову характеристику многогранника. [2] [3]
Полином Эрхарта
[ редактировать ]Полином Эрхарта любого решетчатого многогранника подсчитывает количество содержащихся в нем точек решетки при масштабировании на целочисленный коэффициент.Полином Эрхартатетраэдр Рива T r высоты r равен [4] Таким образом, для r ≥ 13 коэффициент при t полиноме Эрхарта от Tr в отрицателен. Этот пример показывает, что полиномы Эрхарта иногда могут иметь отрицательные коэффициенты. [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кираджиев, Кристиан (декабрь 2018 г.). «Соединение точек с помощью теоремы Пика» (PDF) . Математика сегодня . Институт математики и ее приложений . Проверено 6 января 2023 г.
- ^ Jump up to: а б с Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества . Третья серия. 7 : 378–395. дои : 10.1112/plms/s3-7.1.378 . МР 0095452 .
- ^ Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Странная» формула объема трехмерных решетчатых многогранников». Геометрии посвященные . 61 (3): 271–278. дои : 10.1007/BF00150027 . МР 1397808 . S2CID 121162659 .
- ^ Jump up to: а б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Дискретное вычисление непрерывного: целочисленное перечисление в многогранниках . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 78–79, 82 . дои : 10.1007/978-1-4939-2969-6 . ISBN 978-1-4939-2968-9 . МР 3410115 .