Сумма класса сопряженности

В абстрактной алгебре сумма класса сопряженности или просто сумма класса — это функция, определенная для каждого класса сопряженности группы конечной G как сумма элементов в этом классе сопряженности. Суммы классов группы образуют основу центра соответствующей групповой алгебры .

Определение

Пусть G — конечная группа и C ₁ ,..., Ck _— различные классы сопряженности группы G . Для 1 ≤ i ≤ k определите

${\overline {C_{i}}}=\sum _{g\in C_{i}}g.$

Функции ${\overline {C_{1}}},\ldots ,{\overline {C_{k}}}$ являются суммами классов G .

В групповой алгебре

Пусть CG — комплексная групповая над G. алгебра центр CG Тогда Z( CG , обозначаемый ), определяется формулой

$\operatorname {Z} (\mathbf {C} G)=\{f\in \mathbf {C} G\mid \forall g\in \mathbf {C} G,fg=gf\}$.

Это равно множеству всех функций класса (функций, постоянных в классах сопряженности). Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что f является центральным тогда и только тогда, когда ( yx ) = f ( xy ) для всех x , y в G. f Замена y на yx ⁻¹ , это условие становится

$f(xyx^{-1})=f(y){\text{ for }}x,y\in G$.

Суммы классов являются основой множества всех функций класса и, следовательно, основой центра алгебры.

что размерность Z ( CG это показывает , ) равна числу сумм классов G. В частности ,

Ссылки

• Гудман, Роу; и Уоллах, Нолан (2009). Симметрия, представления и инварианты . Спрингер. ISBN   978-0-387-79851-6 . См. главу 4, особенно 4.3.
• Джеймс, Гордон; и Либек, Мартин (2001). Представления и характеры групп (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-00392-X . См. главу 12.